Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. найдите расстояние от точки C до прямой BD1

Answer 1

Расстояние от с до прямой равно√3/2≈0.86

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве можно воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой.

Пусть уравнение прямой в пространстве задано в параметрической форме:

\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \]

где \((x_0, y_0, z_0)\) - точка на прямой, \((a, b, c)\) - направляющий вектор прямой, \(t\) - параметр.

Точка \(C\) имеет координаты \((1, 0, 1)\), а прямая \(BD_1\) проходит через точки \(B(0, 1, 0)\) и \(D_1(1, 1, 1)\). Найдем направляющий вектор прямой \(BD_1\):

\[ \begin{aligned} \vec{BD_1} &= \vec{D_1} - \vec{B} \\ &= (1 - 0, 1 - 1, 1 - 0) \\ &= (1, 0, 1) \end{aligned} \]

Теперь мы можем записать параметрическое уравнение прямой \(BD_1\):

\[ \begin{cases} x = 0 + t \\ y = 1 + 0t \\ z = 0 + t \end{cases} \]

Теперь подставим координаты точки \(C\) в уравнение прямой и найдем расстояние от точки \(C\) до прямой \(BD_1\). Расстояние \(d\) можно найти по формуле:

\[ d = \frac{\left| (\vec{C} - \vec{B}) \times (\vec{C} - \vec{D_1}) \right|}{|\vec{BD_1}|} \]

где \(\times\) обозначает векторное произведение.

\[ \begin{aligned} \vec{C} - \vec{B} &= (1 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (1, -1, 1) \\ \vec{C} - \vec{D_1} &= (1 - 1, 0 - 1, 1 - 1) = (0, -1, 0) \\ \vec{BD_1} &= (1, 0, 1) \end{aligned} \]

Теперь вычислим векторное произведение:

\[ \begin{aligned} (\vec{C} - \vec{B}) \times (\vec{C} - \vec{D_1}) &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) \\ &= (1 \cdot 1 - 1) \mathbf{i} + 0\mathbf{j} + (-1) \mathbf{k} \\ &= 0\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - \mathbf{k} \\ &= -\mathbf{k} \end{aligned} \]

Теперь вычислим длину вектора \(\vec{BD_1}\):

\[ |\vec{BD_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

\[ d = \frac{|-\mathbf{k}|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, расстояние от точки \(C\) до прямой \(BD_1\) равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).