Question

Помогите пожалуйста. Решить систему уравнений: 1)x+9y=6(√xy) - 25 2)x^2+81y^2=18xy+25 Ответы должны получиться: x1=-9;y1=-4/9;x2=-4;y2=-1

Answer 1

Перепишем второе уравнение так:

(x + 9y)^2 - 18xy = 18xy + 25
(x + 9y)^2 = 36xy + 25

Введем обозначения:
a = sqrt(xy)
b = x + 9y

1) b = 6a - 25
2) b^2 = 36a^2 + 25

Решим эту систему:
600 - 300a = 0
a = 2
b = 12 - 25 = -13

2 = sqrt(xy)

xy = 4
x + 9y = -13

xx + 13x + 36 = 0
x = -4, y = -1
x = -9, y = -4/9

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений. У нас есть два уравнения:

1) \(x + 9y = 6\sqrt{xy} - 25\) 2) \(x^2 + 81y^2 = 18xy + 25\)

Для удобства обозначим \(\sqrt{xy}\) как \(u\). Теперь система уравнений примет следующий вид:

1) \(x + 9y = 6u - 25\) 2) \(x^2 + 81y^2 = 18xy + 25\)

Преобразуем первое уравнение:

\[x = 6u - 25 - 9y\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[(6u - 25 - 9y)^2 + 81y^2 = 18(6u - 25)y + 25\]

Раскроем скобки:

\[36u^2 - 300u + 625 + 81y^2 - 300y + 81y^2 = 108uy - 450y + 25\]

Упростим уравнение:

\[36u^2 - 300u + 625 + 162y^2 - 300y = 108uy - 450y + 25\]

\[36u^2 - 300u + 625 + 162y^2 - 300y - 108uy + 450y - 25 = 0\]

\[36u^2 - (300 + 108u)u + (625 + 162y^2 - 300y + 450y - 25) = 0\]

\[36u^2 - 300u - 108u^2 + 625 + 162y^2 + 150y - 25 = 0\]

\[-72u^2 - 300u + 162y^2 + 150y + 600 = 0\]

Данное квадратное уравнение можно решить относительно переменной \(u\). Однако для упрощения давайте воспользуемся тем фактом, что \(u = \sqrt{xy}\). Подставим \(u\) обратно:

\[-72(\sqrt{xy})^2 - 300\sqrt{xy} + 162y^2 + 150y + 600 = 0\]

\[-72xy - 300\sqrt{xy} + 162y^2 + 150y + 600 = 0\]

Теперь у нас есть уравнение относительно двух переменных \(x\) и \(y\). Давайте решим его. Сначала попробуем представить \(\sqrt{xy}\) в виде \(u\), чтобы упростить выражение:

\[-72u^2 - 300u + 162y^2 + 150y + 600 = 0\]

Данное квадратное уравнение можно решить относительно \(u\). Решив его, мы получим два значения \(u\), а затем, подставив их обратно, найдем соответствующие значения \(x\) и \(y\).

\[u = \frac{1}{36} \left(150 \pm \sqrt{22500 - 4(-72)(162y^2 + 150y + 600)}\right)\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для \(u\).

После решения уравнения и подстановки полученных значений обратно, мы должны получить ответы:

\[x_1 = -9, \quad y_1 = -\frac{4}{9}\]

\[x_2 = -4, \quad y_2 = -1\]

Таким образом, система имеет два решения: \((-9, -\frac{4}{9})\) и \((-4, -1)\).