Question

Найдите производную функции f(x)=4x^2-8x+1 в точке x_0 , пользуясь определением производной.

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Для нахождения производной функции \(f(x) = 4x^2 - 8x + 1\) в точке \(x_0\) с использованием определения производной, мы будем использовать следующую формулу:

\[f'(x_0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{h}\]

1. Подставим функцию \(f(x)\) в эту формулу:

\[\begin{split} f'(x_0) &= \lim_{{h \to 0}} \frac{{(4(x_0 + h)^2 - 8(x_0 + h) + 1) - (4x_0^2 - 8x_0 + 1)}}{h} \end{split}\]

2. Раскроем квадраты в числителе:

\[\begin{split} f'(x_0) &= \lim_{{h \to 0}} \frac{{4(x_0^2 + 2x_0h + h^2) - 8(x_0 + h) + 1 - (4x_0^2 - 8x_0 + 1)}}{h} \end{split}\]

\[\begin{split} f'(x_0) &= \lim_{{h \to 0}} \frac{{4x_0^2 + 8x_0h + 4h^2 - 8x_0 - 8h + 1 - 4x_0^2 + 8x_0 - 1}}{h} \end{split}\]

3. Упростим выражение, удалим одинаковые члены:

\[\begin{split} f'(x_0) &= \lim_{{h \to 0}} \frac{{8x_0h + 4h^2 - 8h}}{h} \end{split}\]

\[\begin{split} f'(x_0) &= \lim_{{h \to 0}} (8x_0 + 4h - 8) \end{split}\]

4. Теперь подставим \(h = 0\) в оставшееся выражение:

\[f'(x_0) = 8x_0 - 8\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = 4x^2 - 8x + 1\) в точке \(x_0\) равна \(8x_0 - 8\).