Question

Записать уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке Mo(Xo;Yo): f(x)= e^3x+1 - 4, Xo=0

Answer 1

Касательная y=y(x0)+y`(x0)(x-x0)
y`=3e^3x
y(0)=1
y`(0)=3
y=1+3(x-0)
y=3x+1
нормаль  y=x/3+1

Answer 2

Чтобы записать уравнение касательной и нормали к кривой \(y = f(x)\) в точке \(M_0 (x_0, y_0)\), нужно использовать производные функции. Касательная к графику функции в точке \(M_0\) имеет тот же наклон, что и график функции в этой точке, а нормаль имеет наклон, противоположный касательной.

1. Найдем производную функции \(f(x)\): \[f(x) = e^{3x + 1} - 4\]

Производная функции \(f(x)\) равна произведению производной основной экспоненты на производную показателя степени:

\[f'(x) = (3e^{3x + 1})\]

2. Найдем значение производной в точке \(M_0\): Подставим \(x = x_0 = 0\) в \(f'(x)\): \[f'(x_0) = 3e^{3 \cdot 0 + 1} = 3e\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \(M_0\) равен \(3e\).

3. Уравнение касательной: Уравнение касательной в точке \((x_0, y_0)\) имеет вид: \[y - y_0 = m(x - x_0)\] где \(m\) - угловой коэффициент (в данном случае \(3e\)).

Подставим значения: \[y - y_0 = 3e(x - x_0)\]

4. Уравнение нормали: Угловой коэффициент нормали противоположен угловому коэффициенту касательной и равен \(-\frac{1}{3e}\).

Уравнение нормали в точке \((x_0, y_0)\): \[y - y_0 = -\frac{1}{3e}(x - x_0)\]

Подставим значения: \[y - y_0 = -\frac{1}{3e}(x - x_0)\]

Таким образом, уравнение касательной и нормали к кривой \(y = f(x)\) в точке \(M_0 (0, f(0))\) будет следующим: \[ \text{Касательная: } y - f(0) = 3e(x - 0) \] \[ \text{Нормаль: } y - f(0) = -\frac{1}{3e}(x - 0) \]