Question

Найдите все первообразные функции f(x) 2x в кубе - 6х в квадрате+х-1

Answer 1

$f(x)=2x^3-6x^2+x-1\\\\F(x)=\int (2x^3-6x^2+x-1)dx=\frac{x^4}{2}-2x^3+\frac{x^2}{2}-x+C$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функцию \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1\), нужно найти функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\). Давайте найдем первообразную.

\[F(x) = \int (2x^3 - 6x^2 + x - 1) \,dx\]

Разбиваем интеграл на сумму интегралов:

\[F(x) = \int 2x^3 \,dx - \int 6x^2 \,dx + \int x \,dx - \int 1 \,dx\]

Теперь находим каждый из интегралов:

1. \(\int 2x^3 \,dx\)

\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4}x^4\]

\[= \frac{1}{4}x^4\]

2. \(\int -6x^2 \,dx\)

\[= -2x^3\]

3. \(\int x \,dx\)

\[= \frac{1}{2}x^2\]

4. \(\int -1 \,dx\)

\[= -x\]

Теперь собираем все вместе:

\[F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + C\]

где \(C\) - произвольная константа интегрирования. Таким образом, функция

\[F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + C\]

является первообразной для функции \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1\).