Question

Нужно найти производную, вторую производную, найти точки максимума и минимума, найти точки перегиба, построить график. Расписать все подробно Пример №1 y=0.2x^5+4x^2-3 Пример №2 y=e^x/x

Answer 1

1)y`=5*0.2*x^4+4*2x=x^4+8x

x^4+8x=x(x^3+8)=0  x1=0;x2=-2

y(0)=-3 - минимум; y(-2)=-6.4+16-3=6.6-максимум

y``=4x^3+8

4(x^3+2)=0 x=(-2)^1/3- точка перегиба

Answer 2

Давайте решим каждую часть вашего запроса поочередно.

Пример 1: \(y = 0.2x^5 + 4x^2 - 3\)

Найдем производные:

1. Первая производная \(y'\): \[y' = 1x^4 + 8x\]

2. Вторая производная \(y''\): \[y'' = 4x^3 + 8\]

Найдем точки максимума и минимума:

1. Решим уравнение \(y' = 0\) для нахождения критических точек: \[x^4 + 8x = 0\] \[x(x^3 + 8) = 0\] Получаем критические точки: \(x = 0\) и \(x = -2\).

2. Используем вторую производную, чтобы определить, является ли точка критической точкой максимума или минимума: - Подставим \(x = 0\) во вторую производную: \(y''(0) = 8\). Это положительное число, следовательно, в точке \(x = 0\) есть локальный минимум. - Подставим \(x = -2\) во вторую производную: \(y''(-2) = -40\). Это отрицательное число, следовательно, в точке \(x = -2\) есть локальный максимум.

Найдем точки перегиба:

Точки перегиба возникают, когда вторая производная равна нулю или не существует. В данном случае уравнение второй производной не имеет корней.

Построим график:


Пример 2: \(y = \frac{e^x}{x}\)

Найдем производные:

1. Первая производная \(y'\): \[y' = \frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2}\]

2. Вторая производная \(y''\): \[y'' = \frac{e^x}{x} - \frac{2e^x}{x^2} + \frac{2e^x}{x^3}\]

Найдем точки максимума и минимума:

1. Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю: \[\frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2} = 0\] Решение этого уравнения - \(x = 1\).

2. Используем вторую производную, чтобы определить, является ли точка критической точкой максимума или минимума: - Подставим \(x = 1\) во вторую производную: \(y''(1) = 0\). Это не дает нам информации о характере точки.

Найдем точки перегиба:

Решим уравнение \(y'' = 0\): \[\frac{e^x}{x} - \frac{2e^x}{x^2} + \frac{2e^x}{x^3} = 0\] У этого уравнения нет рациональных корней.

Построим график:


Обратите внимание, что функция \(\frac{e^x}{x}\) имеет асимптоту в точке \(x=0\), и это влияет на ее поведение при \(x\) близких к нулю.