Question

Среди N человек каждые двое - либо друзья, либо враги. У каждого из этих людей ровно шесть врагов, причём враги его друзей являются его врагами. При каких N такое возможно? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

Answer 1

Каждый  имеет  по  личному  врагу  и  по  5  врагов  своих  5  друзей. Любое  другое  соотношение нарушит  условие  о  6  врагах.
Поэтому,  встретились  12  человек,  у  каждого:   по  5  друзей,  одному личному  врагу  и  5  врагам,  по  поговорке.  

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу более подробно.

Для каждого человека справедливо, что у него ровно шесть врагов. Давайте представим, что у человека X есть шесть врагов: A, B, C, D, E, и F. Теперь, согласно условию, двое из этих врагов могут быть друзьями. Давайте рассмотрим все возможные комбинации:

1. A и B - друзья X 2. A и C - друзья X 3. A и D - друзья X 4. A и E - друзья X 5. A и F - друзья X 6. B и C - друзья X 7. B и D - друзья X 8. B и E - друзья X 9. B и F - друзья X 10. C и D - друзья X 11. C и E - друзья X 12. C и F - друзья X 13. D и E - друзья X 14. D и F - друзья X 15. E и F - друзья X

Таким образом, для каждого из шести врагов у X есть пять вариантов быть его другом. Также учтем, что в условии не сказано, что у X не может быть друзей среди своих врагов. Поэтому, с учетом пересечения дружбы и вражды, существует возможность, что у X есть шесть друзей.

Теперь давайте определим, при каких N это возможно. Если у нас есть N человек, каждый из которых имеет ровно шесть друзей, то общее количество дружеских связей равно 6N. Но каждая дружба учитывается дважды (например, дружба между A и B считается и для A, и для B), поэтому общее количество дружеских связей должно быть равно 2 * C(N, 2), где C(N, 2) - это количество сочетаний из N по 2.

Уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[6N = 2 \cdot C(N, 2)\]

Решив это уравнение, мы найдем значения N, при которых это возможно. Найдем все возможные варианты.

\[6N = N \cdot (N-1)\]

Раскрываем скобки:

\[6N = N^2 - N\]

Получаем квадратное уравнение:

\[N^2 - 7N = 0\]

Факторизуем:

\[N(N - 7) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения N: \(N = 0\) или \(N = 7\). Однако, поскольку число людей не может быть равным 0, единственным решением является \(N = 7\).

Таким образом, среди 7 человек каждые двое либо друзья, либо враги, и у каждого из них ровно шесть врагов, при условии, что враги его друзей также являются его врагами.