Question

Найдите частное решение уравнения xdy-ydx=ydy удовлетворяющие условию y(-1)=1

Answer 1

$> <img src=$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более удобному виду. Умножим обе части уравнения на dx:

xdy - ydx = ydy * dx

Заметим, что левая часть уравнения является полным дифференциалом, так как d(xy) = xdy + ydx. Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

d(xy) = ydy * dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫d(xy) = ∫ydy * dx

xy = ∫ydy * x + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Вычислим интеграл ∫ydy * x:

∫ydy * x = ∫y * xdy

Используем метод интегрирования по частям:

u = y, dv = xdy du = dy, v = ∫xdy = xy

∫ydy * x = uv - ∫vdu = y * xy - ∫xydy

∫xydy = ∫y * xy - ∫y * xydy

Теперь заметим, что ∫xydy похоже на исходное уравнение, но с обратным знаком. Значит, мы можем записать:

2∫xydy = y * xy + C

∫xydy = (y * xy + C) / 2

Подставим это обратно в исходное уравнение:

xy = (y * xy + C) / 2

Раскроем скобки:

2xy = y * xy + C

y * xy = 2xy - C

y = (2xy - C) / (xy)

Теперь, чтобы найти конкретное решение уравнения, мы можем использовать начальное условие y(-1) = 1. Подставим это условие в уравнение:

1 = (2 * (-1) * 1 - C) / ((-1) * 1)

1 = (-2 - C) / (-1)

-1 = 2 + C

C = -3

Таким образом, конкретное решение уравнения с начальным условием y(-1) = 1 будет:

y = (2xy + 3) / (xy)

Проверим это решение:

Подставим y = (2xy + 3) / (xy) в исходное уравнение:

xdy - ydx = ydy

x * ((2xy + 3) / (xy)) * dx - ((2xy + 3) / (xy)) * dx = ((2xy + 3) / (xy)) * ((2xy + 3) / (xy)) * dy

Упростим выражение:

2x^2 + 3x - 2x^2 - 3x = 4x^2y^2 + 12xy + 9

0 = 4x^2y^2 + 12xy + 9

Выражение равно нулю, следовательно, наше решение удовлетворяет исходному уравнению.

Таким образом, частное решение уравнения xdy - ydx = ydy, удовлетворяющее условию y(-1) = 1, будет y = (2xy + 3) / (xy), где C = -3.