Question

Y'+2y+4=0 помогите срочно линейное дифферициальное уравнение первого порядка

Answer 1

1) Короткий способ.

$y'+2y+4=0;\ (y+2)'=-2(y+2);\ y+2=Ce^{-2x}; y=Ce^{-2x}-2$

2) Длинный, но стандартный способ.
Решаем как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Сначала нужно решить однородное уравнение
$y'+2y=0.$
Соответствующее характеристическое уравнение 
$t+2=0;\ t=-2;\ y=Ce^{-2x}.$ Остается угадать частное решение неоднородного уравнения 
$y'+2y=-4$. Поскольку производная константы равна нулю, частным решением будет $\bar y =-2.$ 

Ответ: $y=Ce^{-2x}-2$

3) Еще один стандартный скучный способ. Уравнение можно рассматривать как уравнение с разделяющимися переменными:

$\frac{dy}{dx}=-2y-4;\ \frac{dy}{y+2}=-2\, dx;\ \int\frac{dy}{y+2}=-2\int\, dx;\ \ln|y+2| =-2x+C;$

$|y+2|=e^{-2x+C};\ y=\pm e^C\cdot e^{-2x}-2.$

Обозначим $\pm e^{C}=C_1\not= 0;\ y=C_1\cdot e^{-2x}-2.$

Заметим, что в процессе решения мы делили на y+2, при этом потеряли решение y= - 2. Его надо добавить к уже найденным решениям. Записывать это решение в ответ отдельной строкой не придется, так как оно вписывается в общее решение, если снять ограничение $C_1\not= 0.$

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y' + 2y + 4 = 0, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте разберемся подробнее.

Метод интегрирования

1. Начнем с уравнения: y' + 2y + 4 = 0. 2. Перенесем все слагаемые, содержащие y, на одну сторону уравнения: y' = -2y - 4. 3. Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения. Интегрируя левую сторону, получим: ∫y' dx = ∫(-2y - 4) dx. 4. Интегрируя правую сторону, получим: y = -2∫y dx - 4∫dx. 5. Интегрируя каждое слагаемое по отдельности, получим: y = -2∫y dx - 4x + C, где C - произвольная постоянная. 6. Теперь мы можем решить это уравнение для y.

Решение уравнения

1. Рассмотрим первое слагаемое: -2∫y dx. Чтобы проинтегрировать это слагаемое, мы должны знать функцию y(x). Поскольку у нас нет явного вида функции y(x), мы не можем проинтегрировать это слагаемое аналитически. 2. Однако, мы можем использовать численные методы или программное обеспечение, такое как MatLab, чтобы найти приближенное решение уравнения. 3. Если вы хотите использовать MatLab, вы можете использовать функцию ode45 для численного решения дифференциального уравнения. 4. Если вы предпочитаете решить уравнение аналитически, вам может потребоваться использовать другие методы, такие как метод вариации постоянной или метод Лапласа. 5. Обратите внимание, что решение этого уравнения может зависеть от начальных условий или других ограничений, которые не были указаны в вашем вопросе.

Надеюсь, эта информация поможет вам решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!