Question

11. Две касательные, проведенные из одной точки С, касаются окружности в точках А и В. Угол между касательными равен 600. ОС = 124, где О – центр окружности. Найти радиус.

Answer 1

ΔABC - равнобедренный. АС = ВС = АВ=124
Δ АОВ- равнобедренный. В нём АО = ВО = R , АВ = 124, ∠АОВ = 120°. Проведём в этом треугольнике высоту ОК.
ΔОАК - прямоугольный. В нём АК = 62,ОК =х, ОК = R = 2х
Составим т. Пифагора: 4х² - х² =62²
                                       3х²=2844
                                       х²= 3844/3
                                       х = √3844/3 = 62√3/3
R=2x = 124√3/3

Answer 2

Дано:

- Окружность с центром O - Две касательные, проведенные из точки C, касаются окружности в точках A и B - Угол между касательными равен 60 градусов - Расстояние ОС равно 124

Нам нужно найти радиус окружности.

Решение:

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойствами касательных к окружности.

Шаг 1: Нарисуем окружность с центром O и проведем две касательные из точки C, так что они касаются окружности в точках A и B.

Шаг 2: Поскольку касательная проведена из точки C, она будет перпендикулярна радиусу, проведенному из центра O в точку касания. Таким образом, угол между касательной и радиусом AO будет равен 90 градусов.

Шаг 3: Угол между касательными равен 60 градусов, поэтому угол между радиусами OA и OB также будет 60 градусов.

Шаг 4: Теперь мы можем использовать свойства треугольника для вычисления радиуса. Мы знаем, что треугольник OAC - прямоугольный, и угол OAC равен 90 градусов, а угол OCA равен 60 градусов. Таким образом, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенс для вычисления значения радиуса.

Тангенс угла OCA равен отношению противолежащего катета OC к прилежащему катету OA. Таким образом, мы можем записать:

тангенс (60 градусов) = OC / OA

тангенс (60 градусов) = √3

Теперь, чтобы найти радиус, нам нужно найти значение OA.

Шаг 5: Мы также знаем, что расстояние ОС равно 124. Так как ОС является гипотенузой треугольника OAC, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления значения OA:

OA^2 = OC^2 - AC^2

OA^2 = 124^2 - r^2

где r - радиус окружности.

Шаг 6: Мы также можем использовать свойство касательных к окружности, которое говорит нам, что касательная, проведенная из точки C, равна другой касательной, проведенной из точки C. Таким образом, AC = BC.

Шаг 7: Подставим значение AC = BC в уравнение для OA:

OA^2 = 124^2 - r^2

OA^2 = 15376 - r^2

OA^2 = 15376 - (AC^2) (поскольку AC = BC)

OA^2 = 15376 - (BC^2)

OA^2 = 15376 - (BC^2)

Шаг 8: Мы также знаем, что угол OCA равен 60 градусов, поэтому треугольники OAC и OBC равнобедренные треугольники. Таким образом, мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, которое говорит нам, что высота, проведенная из вершины треугольника к основанию, является медианой. Таким образом, OC является медианой треугольника OAC.

Шаг 9: Мы можем использовать свойство медианы треугольника, чтобы найти значение BC:

BC = 2 * OC / √3

Шаг 10: Подставим значение BC в уравнение для OA:

OA^2 = 15376 - (BC^2)

OA^2 = 15376 - [(2 * OC / √3)^2]

OA^2 = 15376 - (4 * OC^2 / 3)

Шаг 11: Теперь у нас есть уравнение для OA, и мы можем решить его, чтобы найти значение радиуса r. Выразим r через OA:

r = √(15376 - (4 * OC^2 / 3))

r = √(15376 - (4 * 124^2 / 3))

r ≈ √(15376 - 6464)

r ≈ √(8912)

r ≈ 94.4

Таким образом, радиус окружности составляет примерно 94.4.