Question

Найдите площадь фигуры ,ограниченной линиями y=x^2+2 и у=6

Answer 1

Площадь такой фигуры равна разности площадей между общими точками.
1) Пределы интегрирования из уравнения
х²+2 = 6 или х² = 4 или a = 2 b = -2.
Площадь фигуры интеграл разности функций.
$S= \int\limits^a_b 4-{x^2} \, dx =4x- \frac{x^3}{3} = 5 \frac{1}{3} -(-5 \frac{1}{3} =10 \frac{2}{3}$
ОТВЕТ S = 10 2/3 ~ 10.667

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и проинтегрировать разность функций, описывающих кривые, между этими точками.

Для данной задачи, нужно найти точки пересечения двух кривых y = x^2 + 2 и y = 6. Для этого приравниваем их и решаем уравнение:

x^2 + 2 = 6 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, точки пересечения находятся при x = -2 и x = 2.

Теперь мы можем проинтегрировать разность функций между этими точками, чтобы найти площадь фигуры:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - точки пересечения, f(x) - верхняя функция (y = 6), g(x) - нижняя функция (y = x^2 + 2).

Таким образом, площадь фигуры равна:

Площадь = ∫[-2, 2] (6 - (x^2 + 2)) dx

= ∫[-2, 2] (4 - x^2) dx

= [4x - (x^3/3)]|[-2, 2]

= (8 - (8/3)) - (-8 + (8/3))

= 16/3 - 16/3

= 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2 и y = 6, равна 0. Это означает, что эти две кривые не пересекаются и не образуют фигуру.

Answer 3

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2 и y = 6, мы должны сначала найти точки пересечения этих двух линий. Затем мы можем найти площадь под кривой y = x^2 + 2 между этими точками и вычесть площадь прямоугольника, ограниченного линиями y = x^2 + 2, y = 6 и вертикальными линиями, проходящими через эти точки.

Найдем точки пересечения:

Подставим y = 6 в уравнение y = x^2 + 2:

6 = x^2 + 2

Перенесем 2 на другую сторону:

x^2 = 6 - 2

x^2 = 4

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

x = ±√4

x = ±2

Таким образом, точки пересечения равны (-2, 6) и (2, 6).

Вычислим площадь под кривой:

Интеграл площади под кривой y = x^2 + 2 между точками x = -2 и x = 2 можно вычислить следующим образом:

∫[от -2 до 2] (x^2 + 2) dx

= [x^3/3 + 2x] [от -2 до 2]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

= [(2^3/3 + 2*2) - ((-2)^3/3 + 2*(-2))]

= [(8/3 + 4) - ((-8/3) - 4)]

= [32/3 + 12/3 + 8/3 + 12/3]

= 64/3

Вычислим площадь прямоугольника:

Высота прямоугольника равна разности между y = 6 и y = x^2 + 2:

6 - (x^2 + 2)

Ширина прямоугольника равна разности между x = -2 и x = 2:

2 - (-2) = 4

Таким образом, площадь прямоугольника равна:

Площадь = высота * ширина

= (6 - (x^2 + 2)) * 4

= (6 - (x^2 + 2)) * 4

Вычислим итоговую площадь:

Итоговая площадь равна площади под кривой минус площадь прямоугольника:

Итоговая площадь = площадь под кривой - площадь прямоугольника

= 64/3 - (6 - (x^2 + 2)) * 4

Теперь, чтобы получить конечное значение площади, подставим значения x = -2 и x = 2:

Итоговая площадь = 64/3 - (6 - ((-2)^2 + 2)) * 4

= 64/3 - (6 - (4 + 2)) * 4

= 64/3 - (6 - 6) * 4

= 64/3 - 0 * 4

= 64/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2 и y = 6, равна 64/3.