Question

Дано a=2i+j+3k и b=i+j-k найти :Скалярное и векторное произведение векторов. с=2a+b и d+3b-a

Answer 1

Решение

Дано a=2i+j+3k и b=i+j-k

найти :Скалярное и векторное произведение векторов. с=2a+b и d=3b-a

Запишем координаты векторов a и b

a(2;1;3)  ; b(1;1;-1)

2a = 2*(2;1;3) = (4;2;6)

2a(4;2;6)

c = 2a + b = (4 + 1;2 + 1;6 + (-1)) = (5;3;5)

 d = 3b - a

3b = 3*(1;1;-1) = (3;3;-3)

d = (3-2;3-1;-3-3) = (1;2;-6)

Скалярное произведение:

c*d= 5*1 + 3*2 + 5*(-6) = 5 + 6 - 30 = - 19

Векторное произведение:

c x d = i [3*(-6) - 2*5] - j [5*(-6) - 1*5]  + к [5*2 - 1*3] =

=  - 28 i  + 35 j + 7 k

Answer 2

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов a и b обозначается как a·b и определяется следующим образом:

a·b = |a| * |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а θ - угол между ними.

Для данного случая, где a = 2i + j + 3k и b = i + j - k, мы можем вычислить скалярное произведение следующим образом:

a·b = (2i + j + 3k) · (i + j - k)

Раскрывая скобки и применяя правила умножения векторов, получаем:

a·b = 2i·i + 2i·j + 2i·(-k) + j·i + j·j + j·(-k) + 3k·i + 3k·j + 3k·(-k)

Применяя правила умножения единичных базисных векторов, мы имеем:

a·b = 2*1 + 2*1 + 2*0 + 1*1 + 1*1 + 1*0 + 3*1 + 3*1 + 3*0

Выполняя вычисления, получаем:

a·b = 2 + 2 + 0 + 1 + 1 + 0 + 3 + 3 + 0 = 13

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно 13.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов a и b обозначается как a × b и определяется следующим образом:

a × b = |a| * |b| * sin(θ) * n

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, θ - угол между ними, а n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной a и b.

Для данного случая, где a = 2i + j + 3k и b = i + j - k, мы можем вычислить векторное произведение следующим образом:

a × b = (2i + j + 3k) × (i + j - k)

Раскрывая скобки и применяя правила умножения векторов, получаем:

a × b = (2i × i + 2i × j + 2i × (-k)) + (j × i + j × j + j × (-k)) + (3k × i + 3k × j + 3k × (-k))

Применяя правила умножения единичных базисных векторов и используя свойства крестного умножения, мы имеем:

a × b = (0 + 2k) + (-k + 0) + (0 + 0) = 2k - k = k

Таким образом, векторное произведение векторов a и b равно k.

Вычисление c и d

Дано c = 2a + b и d = 3b - a. Подставляя значения векторов a и b, получим:

c = 2(2i + j + 3k) + (i + j - k) = 4i + 2j + 6k + i + j - k = 5i + 3j + 5k

d = 3(i + j - k) - (2i + j + 3k) = 3i + 3j - 3k - 2i - j - 3k = i + 2j - 6k

Таким образом, вектор c равен 5i + 3j + 5k, а вектор d равен i + 2j - 6k.