Question

Найти частное решение дифференциального уравнения. y' + y = 2x; y(0) = −1

Answer 1

Нам дано однородное уравнение первого порядка
решать будем так: сделаем замену $y=uv$
$u'v+uv'+uv=2x$

$\left \{ {{v'+v=0} \atop {u'v=2x}} \right.$
$\frac{dv}{dx} =-v$
$\frac{dv}{v} =-dx$
$lnv=-x$
$v=e^{-x}$

$\frac{du}{dx} e^{-x}=2x$
$\int du=\int 2xe^xdx$
проинтегрируем правую часть по частям

$a=x; db=2e^xdx$
$da=dx;b=2e^x$

$u=2xe^x-\int 2e^xdx=2xe^x-2e^x+C=2e^x(x-1)+C$

$y=uv=e^{-x}*(2e^x(x-1)+C)=2(x-1)+Ce^{-x}$

Найдем С

$2(0-1)+Ce^{0}=-1$
$-2+C=-1$
$C=1$

Ответ: $y=2(x-1)+e^{-x}$

Answer 2

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения `y' + y = 2x`, нам понадобится использовать метод вариации постоянной. Давайте разберемся, как это делается.

Метод вариации постоянной

1. Начнем с общего решения однородного уравнения `y' + y = 0`. Однородное уравнение получается путем замены правой части нулем.

Уравнение `y' + y = 0` можно решить, представив его в виде `y' = -y` и разделив переменные:

(dy / dx) = -y
(dy / y) = -dx
ln|y| = -x + C1

где `C1` - произвольная постоянная.

Теперь мы имеем общее решение однородного уравнения: `y_h = C * e^(-x)`, где `C` - произвольная постоянная.

2. Теперь мы будем искать частное решение неоднородного уравнения `y' + y = 2x`.

Предположим, что частное решение имеет вид `y_p = A * x + B`, где `A` и `B` - неизвестные константы, которые мы хотим найти.

Теперь продифференцируем `y_p` и подставим в исходное уравнение:

y' = A
A + A * x + B = 2x

3. Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях `x` на обеих сторонах уравнения.

Сравнивая коэффициенты при `x`, мы получаем `A = 2`.

Сравнивая свободные члены, мы получаем `2A + B = 0`. Подставляя значение `A = 2`, получаем `4 + B = 0`, откуда следует `B = -4`.

Таким образом, частное решение `y_p` равно `2x - 4`.

4. Теперь объединим общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p
y = C * e^(-x) + (2x - 4)

5. Наконец, найдем значение константы `C` с использованием начального условия `y(0) = -1`.

y(0) = C * e^(0) + (2 * 0 - 4)
-1 = C - 4
C = 3

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения `y' + y = 2x` с начальным условием `y(0) = -1` равно:

y = 3 * e^(-x) + (2x - 4)

Это и будет искомым частным решением.