Question

Скалярное произведение двух векторов . Задание: Вычислите ав, если а=3m+2n, в=m-n, где m и n ортогональные векторы. |м|=2 |п|=1

Answer 1

Рассмотрите такое решение:
1) a*b=(3m+2n)(m-n)=3m²-mn-2n²
2) m²=2²=4;
mn=|m|*|n|*cos(∠m;n)=2*1*0=0;
n²=1²=1.
3) a*b=3*4-0-2*1=10
Ответ: 10.

Answer 2

Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется как произведение их длин (\( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \)) на косинус угла между ними:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

Где \( \theta \) - угол между векторами.

В данном случае даны векторы \( \mathbf{a} = 3\mathbf{m} + 2\mathbf{n} \) и \( \mathbf{b} = \mathbf{m} - \mathbf{n} \), где \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) - ортогональные векторы (\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 0 \)) и известны их длины: \( |\mathbf{m}| = 2 \) и \( |\mathbf{n}| = 1 \).

Сначала найдем \( |\mathbf{a}| \): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(3|\mathbf{m}|)^2 + (2|\mathbf{n}|)^2} = \sqrt{(3 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 1)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Теперь вычислим \( |\mathbf{b}| \): \[ |\mathbf{b}| = |\mathbf{m} - \mathbf{n}| = \sqrt{|\mathbf{m}|^2 + |\mathbf{n}|^2 - 2\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}} = \sqrt{2^2 + 1^2 - 2 \cdot 0} = \sqrt{5} \]

Теперь найдем скалярное произведение \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

Так как \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) ортогональные (\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 0 \)), угол между \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будет \( 90^\circ \) (или \( \cos(90^\circ) = 0 \)), следовательно: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot 0 = 0 \]

Таким образом, скалярное произведение \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно нулю.