Question

Урна содержит один шар, про который известно, что он с одинаковыми вероятностями либо белый, либо черный. В урну кладут один шар, а затем наудачу извлекают один шар. Он белый. Найти вероятность того, что в урне первоначально находился белый шар.

Answer 1

 вероятность того ,что оба шара черные =нулю,т.к вытащили белый.значит или оба белых или один черный другой белый.следовательно вероятность=2/3

Answer 2

Давайте обозначим события:

- \(A\) - первоначально в урне был белый шар, - \(B\) - извлеченный шар белый.

Нам нужно найти вероятность того, что в урне первоначально находился белый шар при условии, что извлечен белый шар. Это обозначается как \(P(A|B)\) и вычисляется с использованием формулы условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Где: - \(P(A \cap B)\) - вероятность того, что и событие \(A\), и событие \(B\) произошли (в данном случае, что первоначально в урне был белый шар и извлеченный шар белый), - \(P(B)\) - вероятность того, что произошло событие \(B\) (в данном случае, что извлеченный шар белый).

Мы знаем, что урна содержит один шар, и он с одинаковой вероятностью может быть белым или черным. Таким образом, \(P(A) = P(\text{белый}) = P(\text{черный}) = \frac{1}{2}\).

Теперь рассмотрим вероятность \(P(B|A)\) - вероятность того, что извлеченный шар белый, при условии, что первоначально в урне был белый шар. В данном случае, \(P(B|A) = 1\), так как если первоначально в урне был белый шар, то извлеченный шар обязательно белый.

Таким образом, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\).

Теперь найдем \(P(B)\) - вероятность того, что извлеченный шар белый. Это можно выразить как:

\[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A') \]

Где \(A'\) - событие, что первоначально в урне был черный шар.

Так как у нас всего два возможных варианта (белый или черный шар), то \(P(A') = \frac{1}{2}\) и \(P(B|A') = 0\), потому что если первоначально в урне был черный шар, то извлеченный шар не может быть белым.

Таким образом, \(P(B) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем подставить значения в формулу условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \]

Таким образом, вероятность того, что в урне первоначально находился белый шар при условии, что извлеченный шар белый, равна 1.