Question

Ребятушки...ну помогите пожалуйста... Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями пx^2 + y - 4 = 0; y=0

Answer 1

Y=4-πx²  y=0
4-πx²=0⇒πx²=4⇒x²=4/π⇒x=-2/√π U x=2/√π
V=πS(4-πx²)²dx(от-2/√π до 2/√π)=πS(16-8πx²+π²x^4)dX(от-2/√π до 2/√π)=
=π(16x-8πx³/3+π²x^5/5)(от-2/√π до 2/√π)=
=π(32/√π-64/3√π+32/5√π+32/√π-64/3√π+32/5√π)=
=π(64/√π-128/3√π+64/5√π)=√π(960-640+192)=512√π

Answer 2

Конечно, давайте разберемся. Чтобы найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной кривой \(y = f(x)\), где \(a \leq x \leq b\), можно использовать формулу объема вращения (цилиндрический метод):

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx \]

В данном случае у нас есть кривая, заданная уравнением \(\frac{y^2}{4} + x^2 = 1\), и ось ординат. Нам нужно найти функцию \(y = f(x)\), описывающую эту кривую.

Преобразуем уравнение кривой:

\[\frac{y^2}{4} + x^2 = 1\]

Умножим обе стороны на 4:

\[y^2 + 4x^2 = 4\]

Отсюда получаем:

\[y^2 = 4 - 4x^2\]

\[y = \sqrt{4 - 4x^2}\]

Теперь мы можем использовать эту функцию \(y = f(x)\) для нахождения объема. Пределы интегрирования \(a\) и \(b\) следует найти, определив точки пересечения кривой с осью \(x\), то есть решив уравнение \(y = 0\):

\[0 = \sqrt{4 - 4x^2}\]

\[4x^2 = 4\]

\[x^2 = 1\]

\[x = \pm 1\]

Таким образом, интеграл будет от -1 до 1:

\[ V = \pi \int_{-1}^{1} [\sqrt{4 - 4x^2}]^2 \,dx \]

\[ V = \pi \int_{-1}^{1} (4 - 4x^2) \,dx \]

Теперь проинтегрируем это:

\[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}x^3 \right]_{-1}^{1} \]

\[ V = \pi \left[ \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3} + \frac{8}{3}\right) \right] \]

\[ V = \pi \cdot \frac{16}{3} \]

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат, равен \(\frac{16}{3}\pi\).