Question

Помогите, пожалуйста, с двумя примерами. 1) √3*cosx-sinx=0 2) 6sin²x+sinx*cosx-cos²x=0

Answer 1

1) делим все на сos x
√3-tgx=0
tgx=√3
x=п/3+пk
2)делим все на cos^2x
6tg^2x+tgx-1=0
решаешь квадратное уравнение
tgx1=1/3 x1=arctg(1/3)+пK
tgx2=-1/2 x2=arctg(-1/2)+пk

Answer 2

Конечно, решим оба уравнения по порядку.

Уравнение 1: \( \sqrt{3} \cdot \cos(x) - \sin(x) = 0 \)

Чтобы решить это уравнение, давайте попробуем переписать его в терминах одной тригонометрической функции. Для этого воспользуемся тригонометрической тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).

Нам дано: \[ \sqrt{3} \cdot \cos(x) - \sin(x) = 0 \]

Для начала, возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 3 \cdot \cos^2(x) - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) + \sin^2(x) = 0 \]

Теперь заменим \( \sin^2(x) \) на \( 1 - \cos^2(x) \) (воспользовавшись тригонометрическим тождеством): \[ 3 \cdot \cos^2(x) - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) + (1 - \cos^2(x)) = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение только с косинусами и синусами: \[ 4 \cdot \cos^2(x) - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) - 1 = 0 \]

Обозначим \( \cos(x) = u \). Тогда у нас получится квадратное уравнение относительно \( u \): \[ 4u^2 - 2\sqrt{3}u - 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта и формулы квадратного корня. Получим два значения \( u \).

Уравнение 2: \( 6 \cdot \sin^2(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) - \cos^2(x) = 0 \)

Давайте представим \( \sin^2(x) \) и \( \cos^2(x) \) через базовое тригонометрическое тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).

\[ 6 \cdot (1 - \cos^2(x)) + \sin(x) \cdot \cos(x) - \cos^2(x) = 0 \] \[ 6 - 6 \cdot \cos^2(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) - \cos^2(x) = 0 \] \[ -7 \cdot \cos^2(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + 6 = 0 \]

Попробуем представить \( \sin(x) \cdot \cos(x) \) через \( \frac{1}{2} \cdot \sin(2x) \) (двойной угол): \[ -7 \cdot \cos^2(x) + \frac{1}{2} \cdot \sin(2x) + 6 = 0 \]

Решив это уравнение, найдем значения \( x \).