Question

При каких значениях a уравнение имеет четыре корня a)x^4+2ax^2+1=0 b)x^4-x^2+a=0 c)ax^4+x^2-1=0 d)x^4-ax^2+(a-1)=0

Answer 1

1)x^4+2ax²+1      x²=y
y²+2ay+1=0
D=(2a)²-4              D>0
4a²-4>0
a²-1>0
(a-1)(a+1)>0
При а∈(-∞;-1) и (1; ∞) уравнение будет иметь  4 корня
2) x^4-x²+a=0        x²=y
y²-y+a=0
D=1-4a
1-4a>0
-4a>-1
a<1\4 При а меньше 1/4 уравнение будет иметь 4 корня
3) ax^4+x²-1=0        x²=y
ay²+y-1=0
D=1-4a·(-1)=1+4a
1+4a>0
4a>-1
a>-1\4
4)x^4-ax²+(a-1)=0        x²=y
y²-ay+(a-1)=0
D=a²-4(a-1)
a²-4(a-1)>0
a²-4a+4>0            a²-4a+4=0    D=16-16=0    a=2
При всех значениях а , кроме а=2 , уравнение имеет 4 корня

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и найдем значения параметра a, при которых оно имеет четыре корня.

a) Уравнение: x^4 + 2ax^2 + 1 = 0

Для этого уравнения, мы можем использовать подстановку t = x^2, чтобы преобразовать его в квадратное уравнение:

t^2 + 2at + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Есть три возможных случая:

1. Дискриминант D > 0: Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. В этом случае у нас не может быть четыре корня.

2. Дискриминант D = 0: Если D = 0, то уравнение имеет один корень с кратностью два. В этом случае у нас также не может быть четыре корня.

3. Дискриминант D < 0: Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня. В этом случае, с помощью подстановки t = x^2, мы также не можем получить четыре действительных корня.

Таким образом, уравнение x^4 + 2ax^2 + 1 = 0 не имеет четырех корней ни при каких значениях параметра a.

b) Уравнение: x^4 - x^2 + a = 0

Это уравнение имеет вид квадратного трехчлена. Давайте рассмотрим его дискриминант:

D = (-1)^2 - 4*a

1. Если D > 0: Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. В этом случае у нас не может быть четыре корня.

2. Если D = 0: Если D = 0, то уравнение имеет один корень с кратностью два. В этом случае у нас также не может быть четыре корня.

3. Если D < 0: Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня. В этом случае у нас также не может быть четыре действительных корня.

Таким образом, уравнение x^4 - x^2 + a = 0 не имеет четырех корней ни при каких значениях параметра a.

c) Уравнение: ax^4 + x^2 - 1 = 0

Для этого уравнения, мы можем использовать подстановку t = x^2, чтобы преобразовать его в квадратное уравнение:

at^2 + t - 1 = 0

Снова рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

D =