Question

Помогите.найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка 2x^2 y' + x^2 + y^2 =0

Answer 1

Решение дифференциального уравнения прицеплено на картинке

Answer 2

Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения первого порядка, данного вам уравнения 2x^2 + y' + x^2 + y^2 = 0, нужно использовать подходящую методику решения. В данном случае, мы можем использовать метод разделения переменных.

Метод разделения переменных

1. Перепишем исходное уравнение в виде: (2x^2 + x^2) + y' + y^2 = 0

2. Перенесем все выражения, содержащие y, на одну сторону уравнения: y' + y^2 = -3x^2

3. Разделим обе части уравнения на (y^2 + 1): (y' + y^2) / (y^2 + 1) = -3x^2 / (y^2 + 1)

4. Проинтегрируем обе части уравнения по переменной x: ∫(y' + y^2) / (y^2 + 1) dx = ∫(-3x^2 / (y^2 + 1)) dx

5. Левую часть уравнения можно проинтегрировать с помощью замены переменной. Пусть z = y^2 + 1, тогда dz = 2y dy. Заменим y' и y^2 в уравнении: ∫(1/z) dz = ∫(-3x^2 / z) dx

6. После интегрирования получим: ln|z| = -x^3 + C1

7. Разрешим уравнение относительно z: |z| = e^(-x^3 + C1)

8. Раскроем модуль и получим: z = ±e^(-x^3 + C1)

9. Вернемся к исходной переменной y: y^2 + 1 = ±e^(-x^3 + C1)

10. Перепишем уравнение, выражая y: y = ±sqrt(e^(-x^3 + C1) - 1)

Таким образом, общий интеграл исходного дифференциального уравнения первого порядка 2x^2 + y' + x^2 + y^2 = 0 имеет вид: y = ±sqrt(e^(-x^3 + C1) - 1)

где C1 - произвольная постоянная.