Question

Найти решение дифференциального уравнения второго порядка Y''+y' - 2y=0

Answer 1

Составляем характеристическое уравнение
t^2+t-2=0
D=9
x1=-2
x2=1
Общее решение:
С₁e⁻²ˣ+C₂eˣ

Answer 2

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение можно найти, предполагая, что решение имеет вид \(y = e^{rx}\), где \(r\) - неизвестная константа. Затем подставим это предположение в уравнение и найдем значение \(r\).

Уравнение:

\[y'' + y' - 2y = 0\]

Шаг 1: Найдем производные \(y\):

\[y' = re^{rx}\] \[y'' = r^2e^{rx}\]

Шаг 2: Подставим найденные производные в уравнение:

\[r^2e^{rx} + re^{rx} - 2e^{rx} = 0\]

Шаг 3: Факторизуем уравнение:

\[e^{rx}(r^2 + r - 2) = 0\]

Шаг 4: Решим характеристическое уравнение \(r^2 + r - 2 = 0\) для нахождения значений \(r\):

\[(r - 1)(r + 2) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(r_1 = 1\) и \(r_2 = -2\).

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

\[y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями задачи Коши (если они заданы).

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка:

\[y(x) = C_1e^x + C_2e^{-2x}\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.