Question

Tg альфа, если cos альфа = 4 / 5 и 0 < альфа < пи / 2

Answer 1

$\displaystyle cos\alpha = \frac{4}5}$

Найдем синус из основного тригонометрического тождества.

$cos^2\alpha+sin^2\alpha =1\\\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\\\sin\alpha=б\sqrt{1-cos^2a}$

Знак синуса определяется этим условием.  $\displaystyle0\ \textless \ \alpha\ \textless \ \frac{\pi}2$

В первой четверти синус положительный. Поэтому минус просто откидываем.

$\displaystyle sin\alpha=\sqrt{1-cos^2a}=\sqrt{1-\bigg(\frac{4}{5}\bigg)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}=\\\\=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}5$

Теперь найдем тангенс.

$\displaystyle tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3*5}{5*4}=\frac{3}4$

Ответ:  $\displaystyle \frac{3}4$

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с вопросом. У вас есть уравнение, которое связывает угол \( \alpha \) с косинусом этого угла:

\[ \cos(\alpha) = \frac{4}{5}, \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \]

Итак, косинус угла \( \alpha \) равен \( \frac{4}{5} \), и угол находится в первом квадранте (\( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \)).

Мы можем использовать тригонометрическую тождественность:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

Подставим значение \( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \) и решим для синуса:

\[ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2(\alpha) + \frac{16}{25} = 1 \]

\[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{16}{25} \]

\[ \sin^2(\alpha) = \frac{9}{25} \]

\[ \sin(\alpha) = \pm\frac{3}{5} \]

Так как угол \( \alpha \) находится в первом квадранте, где синус положителен, мы выбираем положительное значение:

\[ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \]

Теперь у нас есть значения синуса и косинуса угла \( \alpha \), и мы можем использовать их для нахождения тангенса угла:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Подставим значения:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \]

Таким образом, если \( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \).