Question

7sin^2(5π+x)-cos(3π/2+x)*cos(x-7π)=6

Answer 1

7sin^2x-sinx*cosx-6=0

7tg^2x-tg-6=0

tgx=t

7t^2-t-6=0

D=169

x1,2=1-+13/14=  x1=-6/7; x2=1

tgx=1

x=pi/4+pik

 

x=arctg(-6/7)+pik

 

Вроде так

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические методы. Давайте разберемся шаг за шагом.

Первый шаг - применим тригонометрические тождества для упрощения выражения. Нам понадобятся следующие тождества:

1. sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 2. cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) 3. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) 4. sin(π/2 + x) = cos(x) 5. cos(π/2 + x) = -sin(x)

Применим эти тождества к исходному уравнению:

7sin^2(5π+x) - cos(3π/2+x)*cos(x-7π) = 6

Заменим sin^2(5π+x) с использованием тождества 1:

7(1 - cos(2(5π+x)))/2 - cos(3π/2+x)*cos(x-7π) = 6

Применим тождества 2 и 3 для раскрытия cos(2(5π+x)) и cos(x-7π):

7(1 - cos(10π + 2x))/2 - cos(3π/2+x)*(cos(x)cos(7π) + sin(x)sin(7π)) = 6

Так как cos(7π) = -1 и sin(7π) = 0, мы можем упростить выражение:

7(1 - cos(10π + 2x))/2 - cos(3π/2+x)*cos(x) = 6

Применим тождества 4 и 5 для раскрытия cos(10π + 2x) и cos(3π/2+x):

7(1 - cos(2x))/2 - (-sin(3π/2+x))*cos(x) = 6

Упростим дальше:

7/2 - 7/2*cos(2x) + sin(3π/2 + x)*cos(x) = 6

Теперь, учитывая, что sin(3π/2 + x) = cos(x) и cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), мы можем преобразовать уравнение:

7/2 - 7/2*(1 - 2sin^2(x)) + cos(x)*cos(x) = 6

Упростим еще раз:

7/2 - 7/2 + 7sin^2(x) + cos^2(x) = 6

Теперь, используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы получим:

7sin^2(x) + cos^2(x) = 6

Поскольку cos^2(x) = 1 - sin^2(x), мы можем преобразовать уравнение:

7sin^2(x) + (1 - sin^2(x)) = 6

Упростим:

6sin^2(x) + 1 = 6

Вычтем 1 из обеих сторон:

6sin^2(x) = 5

Разделим на 6:

sin^2(x) = 5/6

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(x) = ±sqrt(5/6)

Теперь, чтобы найти значения x, нам нужно рассмотреть оба случая:

1. sin(x) = sqrt(5/6): Найдем x с помощью обратной функции синуса: x = arcsin(sqrt(5/6))

2. sin(x) = -sqrt(5/6): Найдем x с помощью обратной функции синуса: x = arcsin(-sqrt(5/6))

Таким образом, уравнение 7sin^2(5π+x) - cos(3π/2+x)*cos(x-7π) = 6 имеет два решения для x.

Answer 3

Для решения данного уравнения, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и свойства функций.

1) Начнем с упрощения уравнения:

7sin^2(5π+x) - cos(3π/2+x) * cos(x-7π) = 6

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

sin^2(5π+x) = (1 - cos(2(5π+x))) / 2 cos(3π/2+x) = -sin(x + 3π/2) = -sin(x + π/2) cos(x-7π) = cos(x + 2π - 7π) = cos(x - 5π)

Подставим эти упрощенные значения в исходное уравнение:

7(1 - cos(2(5π+x))) / 2 - (-sin(x + π/2)) * cos(x - 5π) = 6

2) Продолжим упрощение:

7(1 - cos(2(5π+x))) / 2 + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = 6

Теперь заменим cos(2(5π+x)) с использованием формулы двойного угла:

7(1 - (cos^2(5π+x) - sin^2(5π+x))) / 2 + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = 6

3) Упростим еще больше:

7(1 - cos^2(5π+x) + sin^2(5π+x)) / 2 + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = 6

Теперь заменим sin^2(5π+x) с использованием формулы синуса двойного угла:

7(1 - cos^2(5π+x) + 1 - cos^2(5π+x)) / 2 + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = 6

4) Продолжим упрощение:

7(2 - 2cos^2(5π+x)) / 2 + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = 6

Упростим числитель:

7(1 - cos^2(5π+x)) + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = 6

Упростим еще больше:

7 - 7cos^2(5π+x) + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = 6

5) Продолжим упрощение:

-7cos^2(5π+x) + sin(x + π/2) * cos(x - 5π) = -1

Теперь заменим sin(x + π/2) с использованием формулы синуса суммы углов:

-7cos^2(5π+x) + cos(x) * cos(5π) - sin(x) * sin(5π) = -1

Так как cos(5π) = -1 и sin(5π) = 0:

-7cos^2(5π+x) + cos(x) * (-1) - sin(x) * 0 = -1

-7cos^2(5π+x) - cos(x) = -1

6) Приведем уравнение к виду, где все слагаемые содержат cos(x):

7cos^2(5π+x) + cos(x) = 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

7cos^2(5π+x) + cos(x) - 1 = 0

7) Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена:

Пусть z = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

7z^2 + z - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1 - 4 * 7 * (-1) = 1 + 28 = 29

Найдем два значения z:

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + sqrt(29)) / 14 z2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - sqrt(29)) / 14

8) Теперь найдем значения x, используя обратные функции косинуса:

x1 = arccos(z1) x2 = arccos(z2)

Таким образом, уравнение имеет два решения:

x1 = arccos((-1 + sqrt(29)) / 14) x2 = arccos((-1 - sqrt(29)) / 14)