Question

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и СМ, АВ=ВС, АС=12см,АМ= 5 см. Периметр треугольника АВС равен 28 см. Найдите АЕ.

Answer 1

По заданию треугольник АВС равнобедренный, с основанием 12 см.
Боковые стороны равны по (28 - 12)/2 = 16/2 = 8 см.
Требуется найти биссектрису АЕ.
Для этого есть 2 решения:
 1) - применить готовую формулу,
 2) - найти отрезок ЕС и использовать теорему косинусов.

1) $\beta _a= \frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)} = \frac{2}{12+8} \sqrt{12*8*14*6} = \frac{2}{20} \sqrt{8064} =$0,1*24√14 ≈ 8,979978.

2) Используем свойство биссектрисы.
ЕС/АС = ВЕ/АВ,
ЕС/12 = (8 - ЕС)/8,
8ЕС = 96 - 12 ЕС,
20ЕС = 96,
ЕС = 96/20 = 4,8 см.
Теперь по теореме косинусов:
АЕ = (12² + 4,8² - 2*12*4,8*cosC).
cos C = (12/2)/8 = 6/8 = 3/4.
Тогда АЕ = (144 + (576/25) - 24*(24/5)*(3/4)) = √2016/5 = 12√14/5 ≈ 8,979978.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрис в треугольнике: они делят противолежащие стороны в отношении, равном отношению других двух сторон.

Пусть АЕ = х, тогда СМ = х.

По условию задачи, АВ = ВС, значит, АВ = ВС = 14 / 2 = 7 см.

Также дано, что АС = 12 см.

Периметр треугольника АВС равен сумме длин его сторон: АВ + ВС + АС = 28 см 7 + 7 + 12 = 28 см

Теперь найдем длину стороны АЕ с помощью свойства биссектрисы: АЕ / СЕ = АВ / ВС х / (12 - х) = 7 / 7 х / (12 - х) = 1

Решим полученное уравнение: х = 12 - х 2х = 12 х = 6 см

Таким образом, длина стороны АЕ равна 6 см.