Question

Помогите с пределами lim x->(-1) (3x^2+2x-1)/(e^(x+1)-1)

Answer 1

$\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{3 x^{2} +2x-1}{e^{x+1}-1}$

1) По правилу Лопиталя
$\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{3 x^{2} +2x-1}{e^{x+1}-1} = \lim_{x \to \inft{-1}} \frac{(3 x^{2} +2x-1)'}{(e^{x+1}-1)'} =\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{6x+2}{e^{x+1}} = \\ \\ =\frac{6*(-1)+2}{e^{-1+1}}= \frac{-6+2}{e^0} = \frac{-4}{1} =-4$

2) С использованием эквивалентных бесконечно малых функций. В частности, такой $e^x-1$ ≈ $x$.
$\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{3 x^{2} +2x-1}{e^{x+1}-1} =\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{(x+1)(3x-1)}{x+1} =$
Числитель разложили на множители, а выражение в знаменателе заменили эквивалентным бесконечно малым.
$=\lim_{x \to \inft{-1}} (3x-1) =-4$

Answer 2

Для вычисления предела функции \(\lim_{{x \to (-1)}} \frac{{3x^2 + 2x - 1}}{{e^{(x+1)} - 1}}\) мы можем применить правило Лопиталя или преобразовать выражение, чтобы упростить его перед вычислением. Давайте рассмотрим оба подхода.

Правило Лопиталя: По правилу Лопиталя, для вычисления предела функции, когда \(x\) стремится к некоторому значению, мы можем взять производные числителя и знаменателя и вычислить предел новой функции. Продолжаем применять это правило, пока не достигнем определенного значения или пока предел не станет очевидным.

Для нашей функции, начнем с вычисления производных числителя и знаменателя: \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\) \(g(x) = e^{(x+1)} - 1\)

\(f'(x) = 6x + 2\) \(g'(x) = e^{(x+1)}\)

Теперь мы можем вычислить предел новой функции: \(\lim_{{x \to (-1)}} \frac{{6x + 2}}{{e^{(x+1)}}}\)

Снова применяем правило Лопиталя, найдем производные числителя и знаменателя новой функции: \(f'(x) = 6\) \(g'(x) = e^{(x+1)}\)

Теперь, вычисляя предел новой функции, мы получаем: \(\lim_{{x \to (-1)}} \frac{6}{{e^{(x+1)}}} = \frac{6}{{e^0}} = 6\)

Таким образом, предел исходной функции при \(x\) стремящемся к -1 равен 6.

Преобразование выражения: Давайте также рассмотрим другой подход, который заключается в преобразовании выражения, чтобы упростить его перед вычислением предела.

Мы можем представить \(e^{(x+1)} - 1\) как \((e^{(x+1)} - 1) \cdot \frac{{e^{-(x+1)}}}{{e^{-(x+1)}}}\), чтобы избавиться от разности экспонент и заменить ее на отношение экспонент с отрицательными показателями степени: \((e^{(x+1)} - 1) \cdot \frac{{e^{-(x+1)}}}{{e^{-(x+1)}}} = \frac{{e^{(x+1)} - 1}}{{e^{-(x+1)}}}\)

Теперь, когда мы заменили \(e^{(x+1)} - 1\) на новое выражение, мы можем вычислить предел, используя обычные алгебраические методы:

\(\lim_{{x \to (-1)}} \frac{{3x^2 + 2x - 1}}{{e^{(x+1)} - 1}} = \lim_{{x \to (-1)}} \frac{{3x^2 + 2x - 1}}{{\frac{{e^{(x+1)} - 1}}{{e^{-(x+1)}}}}}\)

Теперь, упрощая выражение, мы получаем: \(\lim_{{x \to (-1)}} (3x^2 + 2x - 1) \cdot \frac{{e^{-(x+1)}}}{{e^{(x+1)} - 1}}\)

Заметим, что второй множитель \(\frac{{e^{-(x+1)}}}{{e^{(x+1)} - 1}}\) является константой, так как не зависит от переменной \(x\). Теперь мы можем вычислить предел первого множителя: \(\lim_{{x \to (-1)}} (3x^2 + 2x - 1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0\)

Таким образом, предел исходной функции при \(x\) стремящемся к -1 равен 0.

Итак, мы получаем два разных ответа для предела функции \(\lim_{{x \to (-1)}} \frac{{3x^2 + 2x - 1}}{{e^{(x+1)} - 1}}\): 6 и 0. Возможно, в вопросе есть какая-то ошибка, или мне не удалось правильно понять вашу исходную функцию. Пожалуйста, уточните вопрос, и я буду рад помочь вам.