Question

Алгебра. 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. а) y=x^2; y=2-x. 2. Найти дифференциал функции а) y=3cos(1-x^2). б) y= x^5*e^2x. в) y=2sin(x^2+1)

Answer 1

S= ∫(0)(1)(2-x-x^2)dx=2x-x^2/2-x^3/3 |  1    =
2 - 1/2 -1/3 = 2 - 5/6 = 7/6               | 0                            
2.
 a)  dy = ( - 2x)*3*(- sin(1-x^2))dx = 6xsin(1-x^2)dx
 б)  dy = d(x^5)*e^2x + x^5*d(e^2x) = 
  = (5x^4*e^2x + x^5*2*e^2x)dx = x^4*e^2x(5+x)dx
 в)  dy = 2*2xcos(x^2+1)dx = 4xcos(x^2+1)dx

                                                        

Answer 2

Решение задачи 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 2 - x.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность этих функций между этими точками.

1. Найдем точки пересечения кривых y = x^2 и y = 2 - x. Для этого приравняем эти две функции друг к другу и решим полученное уравнение: x^2 = 2 - x

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: x^2 + x - 2 = 0

Решим полученное квадратное уравнение: (x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два корня: x = -2 и x = 1.

2. Теперь мы знаем точки пересечения кривых. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, проинтегрируем разность функций между этими точками. В данном случае, так как кривые пересекаются в точках x = -2 и x = 1, интеграл будет выглядеть следующим образом:

S = ∫[x=-2 to x=1] (2 - x - x^2) dx

Интегрируя это выражение, получим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми.

Решение задачи 2: Найти дифференциал функции.

а) y = 3cos(1 - x^2)

Дифференциал функции можно найти, продифференцировав ее по переменной x и умножив на дифференциал переменной x. В данном случае:

dy = d(3cos(1 - x^2)) = -3sin(1 - x^2) * d(1 - x^2)

Теперь продифференцируем (1 - x^2) по x:

d(1 - x^2) = -2x * dx

Подставим это обратно в исходное выражение:

dy = -3sin(1 - x^2) * (-2x * dx) = 6xsin(1 - x^2)dx

Таким образом, дифференциал функции y = 3cos(1 - x^2) равен 6xsin(1 - x^2)dx.

б) y = x^5 * e^(2x)

Аналогично, продифференцируем функцию по переменной x:

dy = d(x^5 * e^(2x)) = (5x^4 * e^(2x) + x^5 * 2e^(2x))dx

Таким образом, дифференциал функции y = x^5 * e^(2x) равен (5x^4 * e^(2x) + 2x^5 * e^(2x))dx.

в) y = 2sin(x^2 + 1)

Продифференцируем функцию по переменной x:

dy = d(2sin(x^2 + 1)) = 2cos(x^2 + 1) * d(x^2 + 1)

Дифференцируем (x^2 + 1) по x:

d(x^2 + 1) = 2x * dx

Подставляем это обратно в исходное выражение:

dy = 2cos(x^2 + 1) * (2x * dx) = 4xcos(x^2 + 1)dx

Таким образом, дифференциал функции y = 2sin(x^2 + 1) равен 4xcos(x^2 + 1)dx.