Question

Log4(x+3)-log4(x-1)=2-log4 8 Помогите решить уравнение. Подробно. Распишите нахождение одз.

Answer 1

ОДЗ
{x+3>0⇒x>-3
{x-1>0⇒x>1
x∈(1;∞)
log_(a)b-log_(a)c=log_(a)(b/c)
log_4[(x+3)/(x-1)]=log_4(16/8)
(x+3)/(x-1)=2
x+3=2x-2
2x-x=3+2
x=5

Answer 2

Для решения уравнения `log4(x+3) - log4(x-1) = 2 - log4(8)`, мы будем использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования.

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Мы можем использовать следующие свойства логарифмов: - `log(a) - log(b) = log(a/b)` - `log(a^b) = b * log(a)`

Применим эти свойства к уравнению:

`log4(x+3) - log4(x-1) = 2 - log4(8)`

Преобразуем левую часть уравнения, используя первое свойство:

`log4((x+3)/(x-1)) = 2 - log4(8)`

Шаг 2: Упрощение правой части уравнения

Мы можем упростить правую часть уравнения, вычислив `log4(8)`:

`log4((x+3)/(x-1)) = 2 - log4(2^3)`

`log4((x+3)/(x-1)) = 2 - 3 * log4(2)`

Шаг 3: Применение свойства логарифма

Мы можем использовать свойство логарифма `log(a^b) = b * log(a)` для упрощения правой части уравнения:

`log4((x+3)/(x-1)) = 2 - log4(2)`

`log4((x+3)/(x-1)) = log4(4) - log4(2)`

Шаг 4: Упрощение левой части уравнения

Мы можем упростить левую часть уравнения, используя свойство логарифма `log(a) - log(b) = log(a/b)`:

`log4((x+3)/(x-1)) = log4(4/2)`

`log4((x+3)/(x-1)) = log4(2)`

Шаг 5: Установление равенства

Теперь, когда левая и правая части уравнения имеют одинаковые логарифмические основания, мы можем установить равенство между аргументами:

`(x+3)/(x-1) = 2`

Шаг 6: Решение уравнения

Решим полученное уравнение:

`(x+3)/(x-1) = 2`

Умножим обе части уравнения на `(x-1)`:

`(x+3) = 2(x-1)`

Раскроем скобки:

`x + 3 = 2x - 2`

Вычтем `x` из обеих частей уравнения:

`3 = x - 2`

Добавим `2` к обеим частям уравнения:

`5 = x`

Ответ

Решением уравнения `log4(x+3) - log4(x-1) = 2 - log4(8)` является `x = 5`.

Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения, мы должны учесть ограничения логарифмической функции.

В данном случае, чтобы логарифмы были определены, необходимо, чтобы аргументы логарифмов `(x+3)` и `(x-1)` были положительными числами.

Для `(x+3)`: `(x+3) > 0`

Решим это неравенство: `x > -3`

Для `(x-1)`: `(x-1) > 0`

Решим это неравенство: `x > 1`

Таким образом, областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения является интервал `(1, +∞)`.