Question

√(3x+9-4√(3x+5))+√(3x+14-6√(3x+5))=1

Answer 1

$\sqrt{3x+9-4\sqrt{3x+5}}+\sqrt{3x+14-6\sqrt{3x+5} } =1$
$\sqrt{3x+5+4-4\sqrt{3x+5}}+\sqrt{3x+5+9-6\sqrt{3x+5} } =1$
Замена  $\sqrt{3x+5}=y$
$\sqrt{y^2+4-4y}+ \sqrt{y^2+9-6y} =1$
$\sqrt{(y-2)^2} + \sqrt{(y-3)^2} =1$
$|y-2|+|y-3|=1$
Уравнение с корнями перевели в уравнение с модулями
1) y < 2, тогда |y - 2| = 2 - y; |y - 3| = 3 - y
$2-y+3-y=1$
$y= 2$, но по условию y < 2, поэтому не подходит
2) 2 <= y < 3, тогда |y - 2| = y - 2; |y - 3| = 3 - y
y - 2 + 3 - y = 1
1 = 1 - это верно для любого 2 <= y < 3
$2 \leq \sqrt{3x+5} \ \textless \ 3$
$4 \leq 3x+5 \ \textless \ 9$
$-1 \leq 3x \ \textless \ 4$
Решением уравнения является любой x из промежутка:
$-1/3 \leq x \ \textless \ 4/3$
Целые значения на этом промежутке: x1 = 0; x2 = 1
3) y >= 3; тогда |y - 2| = y - 2; |y - 3| = y - 3
y - 2 + y - 3 = 1
2y = 6
y = 3
$\sqrt{3x+5}=3$
$3x+5=9$
$3x=4$
$x=4/3$
Ответ: $-1/3 \leq x \leq 4/3$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, давайте введем замену для упрощения выражения под корнем. Пусть \( u = \sqrt{3x + 5} \). Тогда наше уравнение примет вид:

\[ \sqrt{3x + 9 - 4\sqrt{3x + 5}} + \sqrt{3x + 14 - 6\sqrt{3x + 5}} = 1 \]

Подставим \( u \):

\[ \sqrt{u^2 + 4} + \sqrt{u^2 + 9} = 1 \]

Теперь проведем несколько шагов алгебраических преобразований:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ (\sqrt{u^2 + 4} + \sqrt{u^2 + 9})^2 = 1^2 \]

Раскроем скобки:

\[ u^2 + 4 + 2\sqrt{(u^2 + 4)(u^2 + 9)} + u^2 + 9 = 1 \]

2. Упростим:

\[ 2u^2 + 13 + 2\sqrt{(u^2 + 4)(u^2 + 9)} = 1 \]

Выразим \( \sqrt{(u^2 + 4)(u^2 + 9)} \):

\[ 2\sqrt{(u^2 + 4)(u^2 + 9)} = -2u^2 - 12 \]

3. Подставим это обратно в уравнение:

\[ 2u^2 + 13 -2u^2 - 12 = 1 \]

4. Упростим и решим полученное квадратное уравнение:

\[ 1 = 1 \]

Это верное утверждение, что означает, что любое значение \( u \) подходит. Теперь вернемся к исходной переменной \( x \):

\[ u = \sqrt{3x + 5} \]

Следовательно, уравнение имеет множество решений и не имеет конкретного значения для \( x \). Решение представляет собой все значения \( x \), удовлетворяющие исходному уравнению.