Question

На доске написано в строку 2013 чисел. а) Докажите, что всегда можно стереть одно из них так, что сумма оставшихся чисел будет чётной. б) Верно ли это для 2012 чисел?

Answer 1

На доске 2013 чисел ну например---если убрать то получится 2012 чисел если она чётная то 2012 будет правильно

Answer 2

а) Для доказательства этого утверждения, рассмотрим сумму всех чисел на доске. Обозначим эту сумму как S.

Если S чётное число, то утверждение уже выполняется, так как можно стереть любое число и сумма оставшихся чисел останется чётной.

Если S нечётное число, то рассмотрим два случая:

1) Если на доске есть хотя бы одно чётное число, то мы можем стереть это число и сумма оставшихся чисел станет чётной, так как в сумме нечётного числа и чётного числа всегда получается чётное число.

2) Если на доске все числа нечётные, то сумма всех нечётных чисел также будет нечётной. В этом случае мы можем выбрать любое число на доске и стереть его. Так как сумма всех чисел нечётная, значит сумма оставшихся чисел также будет нечётной. Но если мы стерли нечётное число, то сумма оставшихся чисел должна быть чётной. Получается противоречие, значит в данном случае утверждение не выполняется.

б) Для 2012 чисел утверждение не будет выполняться, если все числа на доске будут нечётными. В этом случае сумма всех чисел будет нечётной и нельзя будет стереть одно число так, чтобы сумма оставшихся чисел была чётной.