Question

Определите координаты вершин треугольника ABC,если середины его сторон имеют координаты К(-4;2) L(1;6),М(-3;2).Найдите длину медианы АК.

Answer 1

K ($\frac{ x_{a} - x_{b} }{2}$; $\frac{y_{a} - y_{b} }{2}$)
K (-4; 2), аналогично и другие точки. Можно составить системы уравнений по координатам х и у отдельно:
$\left \{ {{ \frac{ x_{a} + x_{b} }{2 } =-4} \atop { \frac{ x_{a}+ x_{c}}{2} =-3}}\atop { \frac{ x_{b}+ x_{c}}{2} =1}\right.$
$\left \{ {{ \frac{ y_{a} + y_{b} }{2  } =2} \atop { \frac{y_{a}+y_{c}}{2} =2}}\atop { \frac{ y_{b}+ y_{c}}{2} =6}\right.$
Решая системы, получим $x_{a}= -8$$x_{b} = 0$$x_{c} = 2$
$y_{a} = 1$  $y_{b} = 3$  $y_{c} = 3$
A(-8; 1)  B(0; 3)  C(2; 3)

Answer 2

Для определения координат вершин треугольника ABC используем информацию о координатах середин его сторон. Пусть A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), и C(x₃, y₃) - координаты вершин треугольника. Тогда координаты середин сторон можно выразить следующим образом:

Середина отрезка KL (AB) имеет координаты (x₃, y₃) и равна среднему арифметическому координат середин KL и LM:

\[ x₃ = \frac{x₁ + x₂}{2} \] \[ y₃ = \frac{y₁ + y₂}{2} \]

Середина отрезка LM (AC) имеет координаты (x₂, y₂) и равна среднему арифметическому координат середин LM и MK:

\[ x₂ = \frac{x₃ + x₁}{2} \] \[ y₂ = \frac{y₃ + y₁}{2} \]

Середина отрезка MK (BC) имеет координаты (x₁, y₁) и равна среднему арифметическому координат середин MK и KL:

\[ x₁ = \frac{x₂ + x₃}{2} \] \[ y₁ = \frac{y₂ + y₃}{2} \]

Теперь подставим данные координаты середин:

\[ x₃ = \frac{x₁ + x₂}{2} \] \[ y₃ = \frac{y₁ + y₂}{2} \]

\[ x₂ = \frac{x₃ + x₁}{2} \] \[ y₂ = \frac{y₃ + y₁}{2} \]

\[ x₁ = \frac{x₂ + x₃}{2} \] \[ y₁ = \frac{y₂ + y₃}{2} \]

Подставим значения координат середин KL, LM и MK:

\[ x₃ = \frac{-4 + 1}{2} = -\frac{3}{2} \] \[ y₃ = \frac{2 + 6}{2} = 4 \]

\[ x₂ = \frac{-\frac{3}{2} + (-4)}{2} = -\frac{11}{4} \] \[ y₂ = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

\[ x₁ = \frac{-\frac{11}{4} + 1}{2} = -\frac{3}{8} \] \[ y₁ = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} \]

Таким образом, координаты вершин треугольника ABC: A(-3/8, 7/2), B(-11/4, 3), C(-3/2, 4).

Теперь найдем длину медианы АК. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана АК соединяет вершину A с серединой стороны BC.

Длина медианы находится по формуле:

\[ d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2} \]

Подставим значения координат A и K:

\[ d = \sqrt{(-\frac{11}{4} + \frac{3}{8})^2 + (3 - \frac{7}{2})^2} \]

\[ d = \sqrt{(-\frac{35}{8})^2 + (\frac{1}{2})^2} \]

\[ d = \sqrt{\frac{1225}{64} + \frac{1}{4}} \]

\[ d = \sqrt{\frac{1225 + 16}{64}} \]

\[ d = \sqrt{\frac{1241}{64}} \]

\[ d = \frac{\sqrt{1241}}{8} \]

Таким образом, длина медианы АК равна \(\frac{\sqrt{1241}}{8}\).