Question

2sin^2x+4=3√3 sin(3п/2+x) решите пожалуйста

Answer 1

По формулам приведения sin(3pi/2 + x) = -cos x
2(1 - cos^2 x) + 4 = -3√3*cos x
2 - 2cos^2 x + 4 = -3√3*cos x
2cos^2 x - 3√3*cos x - 6 = 0
Квадратное уравнение относительно cos x.
По определению косинуса cos x ∈ [-1; 1]
D = (3√3)^2 - 4*2(-6) = 27 + 48 = 75 = (5√3)^2
cos x1 = (3√3 - 5√3)/4 = -2√3/4 = -√3/2; x1 = +-5pi/6 + 2pi*k
cos x2 = (3√3 + 5√3)/4 = 8√3/4 = 2√3 > 1 - не подходит.
Ответ: +-5pi/6 + 2pi*k

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы сначала преобразуем его, чтобы выразить sin(x) в виде одной переменной.

Изначальное уравнение: 2sin^2(x) + 4 = 3√3 + sin(3π/2 + x)

Заметим, что sin(3π/2 + x) = cos(x), используя формулу синуса суммы углов. Теперь мы можем переписать уравнение:

2sin^2(x) + 4 = 3√3 + cos(x)

Перенесем все члены в левую сторону:

2sin^2(x) - cos(x) = 3√3 - 4

Заметим, что мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x), используя тригонометрическую тождественность. Теперь уравнение примет вид:

2(1 - cos^2(x)) - cos(x) = 3√3 - 4

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) - cos(x) = 3√3 - 4

Перенесем все члены в правую сторону:

2cos^2(x) + cos(x) - 3√3 + 2 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена.

Для начала, найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3√3 + 2) = 1 + 24√3 - 16 = 25 + 24√3

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

cos(x) = (-1 + √D) / (4a) и cos(x) = (-1 - √D) / (4a)

cos(x) = (-1 + √(25 + 24√3)) / 8 и cos(x) = (-1 - √(25 + 24√3)) / 8

Теперь найдем значения sin(x) с использованием найденных значений cos(x) и исходного уравнения:

sin(x) = √(1 - cos^2(x))

sin(x) = √(1 - (-1 + √(25 + 24√3))^2 / 64) и sin(x) = √(1 - (-1 - √(25 + 24√3))^2 / 64

Таким образом, мы получили две пары значений (cos(x), sin(x)), которые являются решениями данного уравнения.