Question

Решите (1+y^2)dx+(1+x^2)dy=0

Answer 1

Разделяем переменные

$(1+y^2)dx+(1+x^2)dy=0 \\ \\ (1+y^2)dx=-(1+x^2)dy \\ \\ - \frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2} \\ \\ - \int\limits {\frac{dy}{1+y^2}} \, dx = \int\limits {\frac{dx}{1+x^2}} \, dx \\ \\ -arctgy=arctgx+C \\ \\ tg(-arctgy)=tg(arctgx+C) \\ \\ tg(arctgy)=-tg(arctgx+C) \\ \\ y=-tg(arctgx+C)$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

Дано уравнение: (1+y^2)dx + (1+x^2)dy = 0

Для начала, мы можем разделить переменные, переместив все члены, содержащие dx, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие dy, на другую сторону:

(1+y^2)dx = - (1+x^2)dy

Затем мы можем поделить обе части уравнения на (1+y^2) и (1+x^2), соответственно:

dx/(1+x^2) = -dy/(1+y^2)

Теперь, чтобы интегрировать обе части уравнения, мы можем использовать метод частных интегралов.

Интегрируя левую часть уравнения, получим:

∫dx/(1+x^2) = arctan(x) + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Интегрируя правую часть уравнения, получим:

-∫dy/(1+y^2) = -arctan(y) + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем объединить обе части уравнения:

arctan(x) + C1 = -arctan(y) + C2.

Мы можем объединить константы интегрирования в одну, обозначим ее C:

arctan(x) + arctan(y) = C.

Это окончательное решение дифференциального уравнения (1+y^2)dx + (1+x^2)dy = 0.