Question

Найти промежуток возрастания функции y=x^4-4/3x^3-1

Answer 1

1)  Находим первую производную функции:
y' = -3x²+12x+36
Приравниваем ее к нулю:
-3x²+12x+36 = 0
x₁ = -2
x₂ = 6
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-2) = -33
f(6) = 223
f(-3) = -20
f(3) = 142
Ответ:   fmin = -33, fmax = 142
2)  
a) 1. Находим интервалы возрастания и убывания. 
Первая производная равна
f'(x) = - 6x+12
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
- 6x+12 = 0
Откуда:
x₁ = 2
(-∞ ;2)   f'(x) > 0   функция возрастает
(2; +∞)    f'(x) < 0функция убывает
В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 2 - точка максимума.
б)  1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = -12x2+12x
или
f'(x) = 12x(-x+1)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
12x(-x+1) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = 1
(-∞ ;0)   f'(x) < 0  функция убывает 
(0; 1)   f'(x) > 0   функция возрастает
 (1; +∞)   f'(x) < 0   функция убывает
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1 - точка максимума.

3. Исследуйте функцию с помощью производной f(x)=2x^2-3x-1
1.  D(y) = R
2.  Чётность и не чётность:
f(-x) = 2(-x)² - 3*(-x) - 1 = 2x² + 3x - 1 функция поменяла знак частично. Значит она ни чётная ни нечётная
3.  Найдём наименьшее и наибольшее значение функции
Находим первую производную функции:
y' = 4x-3
Приравниваем ее к нулю:
4x-3 = 0
x₁ = 3/4
Вычисляем значения функции 
f(3/4) = -17/8
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 4
Вычисляем:
y''(3/4) = 4>0 - значит точка x = 3/4 точка минимума функции.
4.  Найдём промежутки возрастания и убывания функции:
1. Находим интервалы возрастания и убывания. 
Первая производная равна
f'(x) = 4x-3
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
4x-3 = 0
Откуда:
x₁ = 3/4
(-∞ ;3/4)   f'(x) < 0 функция убывает
 (3/4; +∞)   f'(x) > 0   функция возрастает
В окрестности точки x = 3/4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3/4 - точка минимума

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания функции y = x^4 - (4/3)x^3 - 1, мы должны найти значения x, при которых производная функции положительна.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную данной функции. Производная функции позволяет нам определить, как функция меняется по мере изменения значения x.

Для функции y = x^4 - (4/3)x^3 - 1, возьмем производную по x, используя правила дифференцирования:

dy/dx = 4x^3 - 4x^2

Нахождение значений x, при которых производная положительна

Теперь, чтобы найти значения x, при которых производная положительна, мы должны решить неравенство:

4x^3 - 4x^2 > 0

Мы можем упростить это неравенство, разделив обе части на 4:

x^3 - x^2 > 0

Дальше, мы можем факторизовать это неравенство:

x^2(x - 1) > 0

Теперь, чтобы определить знак этого неравенства, мы должны рассмотреть три случая:

1. x^2 > 0 и (x - 1) > 0 2. x^2 < 0 и (x - 1) < 0 3. x^2 < 0 и (x - 1) > 0

Решение неравенства

1. x^2 > 0 и (x - 1) > 0: Здесь оба множителя положительны, поэтому неравенство выполняется при любом x > 1.

2. x^2 < 0 и (x - 1) < 0: Здесь оба множителя отрицательны, поэтому неравенство не выполняется при любом x < 0.

3. x^2 < 0 и (x - 1) > 0: Здесь первый множитель отрицателен, а второй положителен. Неравенство выполняется при 0 < x < 1.

Промежутки возрастания функции

Таким образом, мы нашли два промежутка возрастания функции:

1. x > 1 2. 0 < x < 1

Это означает, что функция y = x^4 - (4/3)x^3 - 1 возрастает при значениях x больше 1 и при значениях x между 0 и 1.

Answer 3

Для нахождения промежутков возрастания функции y = x^4 - (4/3)x^3 - 1, мы должны найти значения x, при которых производная функции положительна. Возрастание функции означает, что значения функции увеличиваются по мере увеличения x.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y по x. Производная функции y = x^4 - (4/3)x^3 - 1 будет равна:

y' = 4x^3 - 4x^2

Нахождение критических точек

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4x^3 - 4x^2 = 0

Решение уравнения

Факторизуем это уравнение:

4x^2(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 1.

Определение промежутков возрастания

Теперь мы можем использовать эти критические точки, чтобы определить промежутки возрастания функции. Для этого мы можем построить таблицу знаков:

| x | (-∞, 0) | (0, 1) | (1, +∞) | |:-------:|:-----------:|:----------:|:-----------:| | y' | - | + | + | | y | убывает | возрастает | возрастает |

Из таблицы видно, что функция возрастает на промежутках (0, 1) и (1, +∞), а на промежутке (-∞, 0) функция убывает.

График функции

Давайте также построим график функции, чтобы визуально увидеть промежутки возрастания.