Question

Исследовать на сходимость - 1/(n+1)(n+3)

Answer 1

$\displaystyle \bigg| \frac{1}{(n+1)(n+3)} \bigg|\sim \frac{1}{n^2}$

По первому признаку сравнения данный ряд сходится

Answer 2

Для исследования сходимости последовательности или ряда необходимо провести анализ её поведения при стремлении к бесконечности. В данном случае, рассматривается последовательность \(a_n = \frac{1}{(n+1)(n+3)}\).

Исследование на сходимость:

1. Исследование знакопостоянства: - Последовательность \(a_n\) неотрицательна, так как числитель всегда положителен, а знаменатель является произведением двух положительных чисел. Таким образом, \(a_n \ge 0\) для всех \(n\). 2. Исследование на монотонность: - Для исследования монотонности последовательности можно проанализировать знак разности соседних элементов. Однако, в данном случае, это не требуется, так как последовательность не является знакопеременной (все элементы неотрицательны). 3. Исследование на ограниченность: - Чтобы установить ограниченность последовательности, рассмотрим её предел при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)(n+3)} = 0 \] - Таким образом, последовательность \(a_n\) ограничена сверху нулём.

Из проведённого анализа следует, что последовательность \(a_n = \frac{1}{(n+1)(n+3)}\) является неотрицательной и ограниченной сверху нулём. Таким образом, можно сделать вывод о сходимости данной последовательности.