Question

1) Докажите, что касательные , проведенные через точки графика функции f(x)=1-cosx/2 с абсциссами x=-п и x=3п, параллельны.2) Напишите уравнение той касательной к графику функции f(x)=3-6x2-x3, которая имеет наибольший угловой коэффициент.

Answer 1

F"=0,5SINX/2, IF X=PI F"=0,5SQRT2, IF X=3PI/2  F"=0,5SQRT2. Т.Е ПРОИЗВОДНЫЕ,А ЗНАЧИТ УГЛОВЫЕ КОЭФ КАСАТЕЛЬНЫХ РАВНЫ,Т.Е КАСАТЕЛЬНЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ

 

 

УГЛОВОЙ КОЭФ=F"=12Х-3Х2,ЧТО БЫ НАЙТИ МАКСИМУМ ЭТОЙ ПРОИЗВОДНОЙ НАДО РЕШИТЬ (F")"=0, 12-6X=0,  X=2,  В ЭТОЙ ТОЧКЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ИМЕЕТ МАКС УГЛ КОЭФ=F"(2)=24-12=12, В ТОЧКЕ X=2 F=3-6*24-8=-149

КАСАТЕЛЬНАЯ ИМЕЕТ УР-Е  Y=12X+B,  Y(2)=-149, 12*2+B=-149, B=-149-24=-173, Y=12X-173

 

 

 

 

Answer 2

1) Для доказательства того, что касательные, проведенные через точки графика функции f(x)=1-cos(x/2), с абсциссами x=-п и x=3п, параллельны, необходимо показать, что их угловые коэффициенты равны.

Уравнение касательной к функции f(x) в точке x=a имеет вид y-f(a) = f'(a)(x-a), где f'(a) - производная функции f(x) в точке x=a.

Найдем производную функции f(x): f(x) = 1 - cos(x/2) f'(x) = sin(x/2) * (1/2)

Теперь найдем угловые коэффициенты касательных через точки x=-п и x=3п: Для x=-п: f'(-п) = sin((-п)/2) * (1/2) = sin(-п/2) * (1/2) = -1/2

Для x=3п: f'(3п) = sin((3п)/2) * (1/2) = sin(3п/2) * (1/2) = -1/2

Видим, что угловые коэффициенты касательных равны -1/2, поэтому они параллельны.

2) Чтобы найти уравнение касательной к функции f(x)=3-6x^2-x^3, которая имеет наибольший угловой коэффициент, необходимо найти производную функции и найти значение x, при котором производная равна наибольшему значению.

Найдем производную функции f(x): f(x) = 3 - 6x^2 - x^3 f'(x) = -12x - 3x^2

Чтобы найти значение x, при котором производная равна нулю (точка экстремума), решим уравнение f'(x) = 0: -12x - 3x^2 = 0 3x(x + 4) = 0

Из этого уравнения получаем два значения x: x=0 и x=-4.

Теперь найдем значение f''(x) (вторая производная) в этих точках, чтобы определить, является ли экстремум максимумом или минимумом: f''(x) = -12 - 6x

Для x=0: f''(0) = -12 - 6(0) = -12

Для x=-4: f''(-4) = -12 - 6(-4) = -12 + 24 = 12

Из значений второй производной видно, что x=-4 является точкой максимума.

Теперь найдем значение f(x) в точке x=-4: f(-4) = 3 - 6(-4)^2 - (-4)^3 = 3 - 6(16) - (-64) = 3 - 96 + 64 = -29

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x)=3-6x^2-x^3, которая имеет наибольший угловой коэффициент, имеет вид y - (-29) = f'(-4)(x - (-4)), где f'(-4) - производная функции f(x) в точке x=-4, равная -12.

Итак, уравнение касательной имеет вид y + 29 = -12(x + 4).