Question

Найдите корни sin2x=cos(П/2-x) принадлежащей промежутку [-П;0]

Answer 1

Sin2x=cos(π/2 -x)
2sinx cosx=-sin(-x)
2sinx cosx=sinx
2sinx cosx - sinx=0
sinx (2cosx-1)=0
sinx=0                2cosx-1=0
x=πn, n∈Z          2cosx=1
                          cosx=1/2
                          x=+ π/3 +2πn, n∈Z
На промежутке [-π; 0]:
1) х=πn         -π ≤ πn ≤ 0
                    -1 ≤ n ≤ 0
                      n=-1
   x=-π

2) x= π/3 + 2πn       -π≤ π/3 +2πn ≤ 0
                               -π-π/3 ≤ 2πn ≤ -π/3
                               -4π/3 ≤2πn ≤ -π/3
                                -2/3  ≤ n ≤ - 1/6
                                -4/6 ≤ n ≤ -1/6 
    здесь нет корней.
3) х=-π/3 + 2πn       -π≤-π/3+2πn≤0
                             -π+π/3≤2πn≤π/3
                               -2π/3≤2πn≤π/3
                                -1/3≤ n ≤ 1/6
                                  n=0
   x= -π/3

Ответ: х=-π/3;
           х=-π.

Answer 2

Для начала, заметим, что sin(2x) = cos(π/2 - x) равносильно уравнению sin(2x) - cos(π/2 - x) = 0.

Преобразуем это уравнение, используя тригонометрические формулы:

sin(2x) - cos(π/2 - x) = sin(2x) - sin(π/2 - x)

Теперь применим формулу разности синусов:

sin(2x) - sin(π/2 - x) = 2sin(x)cos(x) - sin(π/2)cos(x) + cos(π/2)sin(x)

Учитывая, что sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0, упростим выражение:

2sin(x)cos(x) - sin(π/2)cos(x) + cos(π/2)sin(x) = 2sin(x)cos(x) - cos(x) + sin(x)

Теперь вынесем общий множитель sin(x):

sin(x)(2cos(x) + 1) - cos(x) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1) sin(x) = 0. Это возможно только при x = 0.

2) 2cos(x) + 1 - cos(x) = 0. Раскроем скобки:

cos(x) + 1 = 0

cos(x) = -1

x = π + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, корни уравнения sin(2x) = cos(π/2 - x) на промежутке [-π; 0] равны x = 0 и x = π + 2πk, где k - целое число.