Question

Найдите уравнения касательной к данной кривой в данной точке 1. y =x^3,X0=-2

Answer 1

Y=y(x0)+y'(x0)(x-x0) - касательная в точке x0
y(x0)= -2^3= -8
y'=3x^2
y'(x0)=3*(-2)^2=3*4=12
y= -8+12(x+2)
y= -8+12x+24
y=12x+16

Answer 2

Для поиска уравнения касательной к данной кривой в данной точке, мы можем использовать производную функции, чтобы найти угловой коэффициент кривой в данной точке, а затем использовать этот коэффициент для составления уравнения касательной.

Нахождение производной

Для функции \( y = x^3 \) мы можем найти производную, используя правило степенной функции: \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \). Таким образом, производная функции \( y = x^3 \) будет равна \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \).

Нахождение углового коэффициента

Теперь мы можем найти угловой коэффициент кривой в точке \( x_0 = -2 \), подставив \( x_0 = -2 \) в производную функции: \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=-2} = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12 \]

Уравнение касательной

Угловой коэффициент кривой в точке \( x_0 = -2 \) равен 12. Теперь мы можем использовать этот угловой коэффициент, а также координаты точки \( x_0 = -2 \) и \( y_0 = (-2)^3 = -8 \), чтобы составить уравнение касательной в виде уравнения прямой \( y = mx + c \), где \( m \) - угловой коэффициент, а \( c \) - точка пересечения с осью ординат.

Уравнение касательной

Таким образом, уравнение касательной к кривой \( y = x^3 \) в точке \( x_0 = -2 \) будет: \[ y = 12x - 8 \]

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть еще вопросы или если вам нужна дополнительная информация!