Question

докажите что для любых неотрицательных a,b,c выполняется(а+1)(b+1)(a+c)(b+c) > либо равно 16abc

Answer 1

 может 15 если да то вот так

(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) >=15abc

a^2b^2+ab^2+a^2b+ab+ab^2c+b^2c+a^2bc+2abc+bc+a^2c+ac+abc^2+bc^2+ac^2+c^2>=15abc поделим и по неравенству  между средним ариф и геом равно 

 

 

15Va^15b^15*c^15>=abc

abc>abc 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

Базовый случай: При a=b=c=0, выражение (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) равно 1, а 16abc равно 0. Таким образом, неравенство выполняется.

Предположение индукции: Пусть для некоторых неотрицательных чисел a, b и c неравенство выполняется, то есть (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) > либо равно 16abc.

Шаг индукции: Докажем, что если неравенство выполняется для a, b и c, то оно также выполняется для a+1, b+1 и c+1.

Имеем: (a+1+1)(b+1+1)(a+1+c+1)(b+1+c+1) = (a+2)(b+2)(a+c+2)(b+c+2) = (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) + 2(a+1)(b+1)(a+c+b+c) + 4(a+1)(b+1) + 4(a+c)(b+c) + 8(a+1) + 8(b+1) + 16

Заметим, что каждое слагаемое в данном выражении больше или равно нулю, так как a, b и c неотрицательные числа. Также, по предположению индукции, (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) больше или равно 16abc.

Таким образом, получаем: (a+1+1)(b+1+1)(a+1+c+1)(b+1+c+1) > либо равно 16abc + 2(a+1)(b+1)(a+c+b+c) + 4(a+1)(b+1) + 4(a+c)(b+c) + 8(a+1) + 8(b+1) + 16 > либо равно 16abc + 2(a+1)(b+1)(a+c+b+c) + 4(a+1)(b+1) + 4(a+c)(b+c) + 8(a+1) + 8(b+1) > либо равно 16abc + 2(a+1)(b+1)(a+c+b+c) + 4(a+1)(b+1) + 4(a+c)(b+c) + 8(a+1) > либо равно 16abc + 2(a+1)(b+1)(a+c+b+c) + 4(a+1)(b+1) + 4(a+c)(b+c) + 8a + 8 + 8b + 8 = 16abc + 2(a+1)(b+1)(a+c+b+c) + 4(a+1)(b+1) + 4(a+c)(b+c) + 8(a+b+1) + 8

Заметим, что каждое слагаемое в данном выражении больше или равно нулю, поэтому получаем: (a+1+1)(b+1+1)(a+1+c+1)(b+1+c+1) > либо равно 16abc

Таким образом, по принципу математической индукции, для любых неотрицательных чисел a, b и c выполняется неравенство (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) > либо равно 16abc.