Question

Определите точку максимума функции y=x^3+3x^2-9x

Answer 1

Найдем производную и приравняем нулю:
3x^2+6x-9=0
x^2+2x-3=0
x1=1
x2=-3
Найдем вторую производную:
2х+2 и вычислим её значение при х1=1:
6>0, значит минимум.
Найдем значение второй произв при х2=-3:
-4<0, значит тут максимум.
Ответ: х=-3.

Answer 2

Для определения точки максимума функции y = x^3 + 3x^2 - 9x, мы должны найти ее критические точки. Критические точки функции - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную этой функции, чтобы найти критические точки:

y = x^3 + 3x^2 - 9x

Чтобы найти производную, мы можем применить правило дифференцирования для каждого члена функции по отдельности.

dy/dx = 3x^2 + 6x - 9

Теперь, чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение dy/dx = 0:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного уравнения. В данном случае, давайте воспользуемся факторизацией:

3x^2 + 6x - 9 = 0 3(x^2 + 2x - 3) = 0 3(x + 3)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две решения: x = -3 и x = 1.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нам нужно проанализировать вторую производную функции. Если вторая производная положительна в точке, то это точка минимума, а если она отрицательна, то это точка максимума.

Давайте найдем вторую производную:

d^2y/dx^2 = 6x + 6

Теперь подставим значения x = -3 и x = 1 во вторую производную:

d^2y/dx^2 (x = -3) = 6(-3) + 6 = -12 d^2y/dx^2 (x = 1) = 6(1) + 6 = 12

Из полученных значений видно, что d^2y/dx^2 (x = -3) < 0, а d^2y/dx^2 (x = 1) > 0.

Таким образом, точка x = -3 является точкой максимума, а точка x = 1 является точкой минимума.

Чтобы найти соответствующие значения y в этих точках, мы можем подставить x = -3 и x = 1 в исходную функцию y = x^3 + 3x^2 - 9x:

y(x = -3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = 0 y(x = 1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) = -4

Таким образом, точка максимума функции y = x^3 + 3x^2 - 9x находится в (x, y) = (-3, 0), а точка минимума находится в (x, y) = (1, -4).