Question

Решите уравнение x^2+xy'=y, y(1)=0

Answer 1

$x^2+xy'=y\\xy'-y=-x^2\\y=uv;y'=u'v+v'u\\xu'v+xv'u-uv=-x^2\\xu'v+u(xv'-v)=-x^2\\\begin{cases}xv'-v=0\\u'v=-x\end{cases}\\\frac{xdu}{dx}-v=0|*\frac{dx}{xv}\\\frac{dv}{v}-\frac{dx}{x}=0\\\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=ln|x|\\v=x\\\frac{xdu}{dx}=-x|*\frac{dx}{x}\\du=-dx\\\int du=-\int dx\\u=-x+C\\y=x(-x+C)$

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим уравнением. Это уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных. Давайте начнем с записи уравнения в виде, удобном для решения.

Исходное уравнение

У нас дано уравнение \(x^2 + xy' = y\) c начальным условием \(y(1)=0\).

Решение уравнения

Для начала, давайте перепишем уравнение, разделив переменные: \[x^2 dx + xy' dx = y dy\] Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения: \[\int x^2 dx + \int xy' dx = \int y dy\]

Интегрируя каждую часть, мы получаем: \[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}y = \frac{y^2}{2} + C\]

Теперь мы можем использовать начальное условие \(y(1)=0\) для нахождения константы \(C\): \[\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot 0 = \frac{0}{2} + C\] \[\frac{1}{3} = C\]

Таким образом, уравнение примет вид: \[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}y = \frac{y^2}{2} + \frac{1}{3}\]

Это окончательное решение уравнения \(x^2 + xy' = y\) с начальным условием \(y(1)=0\).