Question

Докажите методом математической индукции, что если m принадлежит натуральному числу 1)m^3+5m+12 делится на 6 2)m^3+11m делится на 6

Answer 1

1

База

m=1:

1+5+12=18 делится на 6

Переход

Пусть доказано для <m, докажем для m.

(m-1)³+5(m-1)+12 по Индукционному предположению делится на 6

m³-3m²+3m-1+5m-5+12 делится на 6

m³+5m+12-3m²+3m-6 делится на 6

m²-m - чётное

3(m²-m)-6 делится на 6

m³+5m+12 делится на 6.

2

База

m=1

1+11=12 делится на 6

Переход

Пусть доказано для <m. Докажем для m.

(m-1)³+11(m-1) делится на 6

m³-3m²+3m-1+11m-11 делится на 6

m³+11m-3m²+3m-12 делится на 6

3m²-3m+12 делится на 6

m³+11m делится на 6.

Answer 2

Доказательство методом математической индукции

Для доказательства данного утверждения методом математической индукции, мы должны выполнить два шага: базовый шаг и шаг индукции.

# Базовый шаг:

В базовом шаге мы должны проверить, что утверждение верно для начального значения, в данном случае для m = 1.

Для m = 1, мы имеем: 1) (1^3) + 5(1) + 12 = 1 + 5 + 12 = 18, и 18 делится на 6 без остатка. 2) (1^3) + 11(1) = 1 + 11 = 12, и 12 делится на 6 без остатка.

Оба утверждения верны для m = 1.

# Шаг индукции:

В шаге индукции мы предполагаем, что утверждение верно для некоторого k. Затем мы доказываем, что утверждение верно для k + 1.

Предположим, что утверждение верно для k: 1) k^3 + 5k + 12 делится на 6 без остатка. 2) k^3 + 11k делится на 6 без остатка.

Теперь докажем, что утверждение верно для k + 1: 1) (k+1)^3 + 5(k+1) + 12 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 + 12 = (k^3 + 5k + 12) + (3k^2 + 3k + 6).

Заметим, что первое слагаемое (k^3 + 5k + 12) делится на 6 без остатка, согласно предположению индукции.

Рассмотрим второе слагаемое (3k^2 + 3k + 6). Мы можем вынести 3 как общий множитель: 3k^2 + 3k + 6 = 3(k^2 + k + 2).

Поскольку k^2 + k + 2 является целым числом, мы можем записать его в виде k^2 + k + 2 = 6q (где q - целое число).

Таким образом, (k+1)^3 + 5(k+1) + 12 = 6p + 3(6q) = 6(p + 3q), где p = k^3 + 5k + 12 и p + 3q - целые числа.

Значит, (k+1)^3 + 5(k+1) + 12 делится на 6 без остатка.

2) (k+1)^3 + 11(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11k + 11 = k^3 + 3k^2 + 14k + 12.

Мы можем разбить это выражение на две части: k^3 + 3k^2 + 14k + 12 = (k^3 + 5k + 12) + (3k^2 + 9k) + 5k.

Первое слагаемое (k^3 + 5k + 12) делится на 6 без остатка, согласно предположению индукции.

Рассмотрим второе слагаемое (3k^2 + 9k). Мы можем вынести 3 как общий множитель: 3k^2 + 9k = 3(k^2 + 3k).

Поскольку k^2 + 3k является целым числом, мы можем записать его в виде k^2 + 3k = 6q (где q - целое число).

Таким образом, (k+1)^3 + 11(k+1) = 6p + 3(6q) + 5k = 6(p + 3q) + 5k, где p = k^3 + 5k + 12 и p + 3q - целые числа.

Значит, (k+1)^3 + 11(k+1) делится на 6 без остатка.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что если m принадлежит натуральному числу: 1) m^3 + 5m + 12 делится на 6 без остатка. 2) m^3 + 11m делится на 6 без остатка.