Question

Алгебра 10 (1/9)^x-6(1/3)^x>-9

Answer 1

(1/3)^x=3^(-x)=t, t>0
t^2-6t+9>0
(t-3)^2>0
t-3$\neq$0
t$\neq$3
3^(-x)$\neq$3
-x$\neq$1
x$\neq$-1
x принадлежит от - бесконечности до -1 и от -1 до бесконечности

Answer 2

Дано уравнение: \(10 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x - 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x > -9\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать подходящую замену переменной. Давайте заменим \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\).

Теперь уравнение принимает вид: \(10 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x - 6y > -9\)

Мы можем выразить \(y\) через \(x\) следующим образом: \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\).

Подставим это обратно в уравнение: \(10 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x - 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x > -9\)

Получаем: \(10y^2 - 6y > -9\)

Теперь решим это уравнение в отношении \(y\).

Приведем уравнение к квадратному виду: \(10y^2 - 6y + 9 < 0\)

Мы можем решить это квадратное неравенство, используя метод интервалов.

Решение:

1. Найдем вершину параболы. Формула вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае \(a = 10\), \(b = -6\).

Подставим значения: \(x = -\frac{-6}{2 \cdot 10} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{3}{10}, f\left(\frac{3}{10}\right)\right)\)

2. Определим выпуклость параболы. В данном случае \(a = 10\), поскольку \(a\) положительное, парабола будет выпуклой вверх.

3. Найдем точки пересечения параболы с \(x\)-осью.

Установим \(f(y) = 0\): \(10y^2 - 6y + 9 = 0\)

Найдем корни этого квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Подставим значения: \(y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 9}}{2 \cdot 10}\)

Вычислим значение под корнем: \(\sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 9} = \sqrt{36 - 360} = \sqrt{-324}\), это отрицательное число, значит, уравнение не имеет вещественных корней.

Следовательно, парабола не пересекает \(x\)-ось.

4. Определим знак \(a\). В данном случае \(a = 10\) и \(a\) положительное.

Если \(a\) положительное, парабола будет направлена вверх, и знак неравенства будет "меньше".

Если \(a\) отрицательное, парабола будет направлена вниз, и знак неравенства будет "больше".

5. Теперь определим интервалы, в которых выполняется данное неравенство.

Если парабола направлена вверх, то выполняется \(f(y) < 0\), иначе \(f(y) > 0\).

Поскольку парабола направлена вверх, у нас есть два случая:

a) Если \(x < \frac{3}{10}\), то выполняется \(f(y) < 0\).

b) Если \(x > \frac{3}{10}\), то выполняется \(f(y) > 0\).

6. Подставим обратно \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\):

a) Если \(x < \frac{3}{10}\), то \(\left(\frac{1}{3}\right)^x < \frac{3}{10}\).

b) Если \(x > \frac{3}{10}\), то \(\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{3}{10}\).

Таким образом, получаем два интервала:

a) \(x < \frac{3}{10}\)

b) \(x > \frac{3}{10}\)

7. Ответом на исходное уравнение будет объединение этих двух интервалов:

\(x < \frac{3}{10}\) или \(x > \frac{3}{10}\)

Это означает, что все значения \(x\), которые меньше \(\frac{3}{10}\), или больше \(\frac{3}{10}\), удовлетворяют исходному неравенству.

Таким образом, решение данного уравнения \(10 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x - 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x > -9\) состоит из двух интервалов: \(x < \frac{3}{10}\) или \(x > \frac{3}{10}\).