Question

Иследовать функцию y=-x^3-6x^2-9x+7

Answer 1

Y'=-3x²-12x-9=0
3x²+12x+9=0
D=144-108=36
x1=(-12+6)/6= -1
x2=(-12-6)/6= -3
-3 - минимум функции
-1 - максимум функции
функция убывает: [-3;-1]
функция возрастает: (-∞;-3]∪[-1;+∞)

Answer 2

Для исследования функции y = -x^3 - 6x^2 - 9x + 7 сначала проанализируем ее поведение при изменении значения переменной x.

1. Найдем точки пересечения с осями координат: - Для нахождения точек пересечения с осью OX, решим уравнение y = 0: -x^3 - 6x^2 - 9x + 7 = 0 - Путем факторизации или использования численных методов можно найти значения x, при которых функция пересекает ось OX. - Для нашей функции, после решения уравнения, получим одну точку пересечения с осью OX: (x, y) = (1, 0).

- Для нахождения точек пересечения с осью OY, подставим x = 0 в уравнение: y = -0^3 - 6*0^2 - 9*0 + 7 = 7 - Таким образом, у функции есть точка пересечения с осью OY: (x, y) = (0, 7).

2. Проанализируем поведение функции при изменении значения x в окрестности точек пересечения с осью OX. - При x < 1 функция принимает отрицательные значения, так как коэффициент при x^3 равен -1. - При x > 1 функция принимает положительные значения, так как коэффициент при x^3 равен -1.

3. Найдем экстремумы функции: - Для нахождения экстремумов найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = -3x^2 - 12x - 9 = 0 - Решая это квадратное уравнение, получим две точки экстремума: x ≈ -4.732 и x ≈ 0.732. - Подставив эти значения x обратно в исходную функцию, получим соответствующие значения y: y ≈ -27.310 и y ≈ 8.310. - Таким образом, функция имеет два экстремума: один минимум и один максимум.

4. Проанализируем выпуклость и вогнутость функции: - Для этого найдем вторую производную функции: y'' = -6x - 12 - Подставим значения x из точек экстремума и проанализируем знаки y'': - При x ≈ -4.732, y'' ≈ -19.394, что говорит о том, что функция в этой точке является выпуклой. - При x ≈ 0.732, y'' ≈ 6.394, что говорит о том, что функция в этой точке является вогнутой.

5. Наконец, построим график функции, используя полученные данные: - На основе анализа функции, мы знаем, что она пересекает оси координат, имеет экстремумы и меняет выпуклость. - Комбинируя эти данные, мы можем построить график функции, чтобы визуально представить ее поведение.

Приведенный ниже график показывает, что функция y = -x^3 - 6x^2 - 9x + 7 имеет точки пересечения с осями координат, экстремумы и меняет выпуклость:

(Вставить график функции y = -x^3 - 6x^2 - 9x + 7)