Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж. y=x²-2, y=x-2

Answer 1

Площадь - интеграл функции.
Пределы интегрирования - 
x² - x = x*(x-1) = 0
a = 1,b=0
S = (x-2)dx - (x²-2)dx = 1/2*x² - 2x - 1/3*x³ + 2x = 0 - (-1/6) = 1/6 ≈ 0.16() - ОТВЕТ
Рисунок к расчету по ссылке.
http://SSMaker.ru/c8db4661/

Answer 2

Для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми, необходимо найти точки пересечения этих кривых и построить график для визуализации. В данном случае, заданные кривые - y=x²-2 и y=x-2.

Нахождение точек пересечения кривых:

Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения кривых и решим полученную систему уравнений: 1. y = x² - 2 2. y = x - 2

Подставим уравнение (2) в уравнение (1): x - 2 = x² - 2

Перенесем все члены в одну сторону: x² - x = 0

Факторизуем: x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Построение графика:

Для визуализации плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми, построим графики уравнений y = x² - 2 и y = x - 2 на одной координатной плоскости.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 3, 100)
y1 = x**2 - 2
y2 = x - 2

plt.plot(x, y1, label='y = x² - 2')
plt.plot(x, y2, label='y = x - 2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x² - 2 and y = x - 2')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

График показывает, что кривые пересекаются в точках (0, -2) и (1, -1). Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно вычислить с помощью интеграла.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² - 2 и y = x - 2, равна S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, где a и b - координаты точек пересечения кривых, f(x) - верхняя кривая, g(x) - нижняя кривая.

В данном случае, a = 0, b = 1, f(x) = x² - 2, g(x) = x - 2.

Вычислим площадь фигуры:

S = ∫[0, 1] ((x² - 2) - (x - 2)) dx

S = ∫[0, 1] (x² - x) dx

S = [x³/3 - x²/2] [0, 1]

S = (1/3 - 1/2) - (0/3 - 0/2)

S = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² - 2 и y = x - 2, равна 1/6.

Чертеж:


Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² - 2 и y = x - 2, равна 1/6.