Question

Найдите пределы функции. lim->3. (x^3+27)/(x^2-9)

Answer 1

f(x)=(x3+3в степени3)/(x-3)(x+3)

(x+3)(x2-3x+9)/(x-3)(x+3)

сокращаем одинаковые скобки (х+3)

(х2-3х+9)/(x-3)

теперь подставляем туда 3

 

Answer 2

Для нахождения предела функции, когда x стремится к 3, необходимо использовать алгебраические методы. Давайте разберемся в этом шаг за шагом.

Подстановка

Сначала мы можем просто подставить x=3 в выражение функции и вычислить результат. Однако, если это приводит к неопределенности или делению на ноль, мы должны использовать другой подход. Давайте проверим это:

Подставим x=3 в выражение функции: lim(x->3) [(x^3 + 27)/(x^2 - 9)] = [(3^3 + 27)/(3^2 - 9)] = [(27 + 27)/(9 - 9)] = [54/0]

Мы видим, что это приводит к делению на ноль, что является неопределенностью.

Факторизация

Чтобы решить эту неопределенность, мы можем попытаться факторизовать числитель и знаменатель, чтобы упростить выражение. Давайте попробуем это:

Факторизуем числитель: x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)

Факторизуем знаменатель: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Теперь выражение функции принимает следующий вид: lim(x->3) [(x + 3)(x^2 - 3x + 9)/(x - 3)(x + 3)]

Сокращение

Заметим, что (x + 3) и (x - 3) в числителе и знаменателе сокращаются. После сокращения выражение становится:

lim(x->3) [(x^2 - 3x + 9)/(x - 3)]

Подстановка

Теперь мы можем просто подставить x=3 в новое выражение и вычислить предел:

lim(x->3) [(3^2 - 3 * 3 + 9)/(3 - 3)] = [(9 - 9 + 9)/(0)] = [9/0]

Мы снова получили неопределенность деления на ноль.

Дальнейшее упрощение

Для решения данной неопределенности мы можем применить правило Лопиталя, которое позволяет нам вычислить предел функции, когда он принимает форму 0/0 или бесконечность/бесконечность. Правило Лопиталя гласит, что если предел отношения производных числителя и знаменателя существует, то он равен пределу отношения самих функций.

Производные

Вычислим производные числителя и знаменателя:

Производная числителя: f'(x) = d/dx (x^2 - 3x + 9) = 2x - 3

Производная знаменателя: g'(x) = d/dx (x - 3) = 1

Применение правила Лопиталя

Теперь мы можем применить правило Лопиталя, взяв предел отношения производных:

lim(x->3) [(2x - 3)/(1)] = [(2 * 3 - 3)/(1)] = [3/1] = 3

Получили, что предел функции при x, стремящемся к 3, равен 3.

Таким образом, ответ на ваш вопрос: lim(x->3) [(x^3 + 27)/(x^2 - 9)] = 3.