Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 2 см, а другого – на 9 см. Найдите периметр этого треугольника.

Answer 1

Пусть х - гипотенуза, тогда (х-2) - один катет, (х-9) - второй катет.
По теореме Пифагора:
$x^{2} = (x-2)^{2}+ (x-9)^{2} \\ x^{2} = x^{2} -4x+4+ x^{2} -18x+81 \\ x^{2} -22x+85=0 \\ D= 484-340=144 \\ x_{1}= \frac{22-12}{2}=5 \\ x_{2}= \frac{22+12}{2}= 17$

x=5 не подходит, так как длина одного из катетов получается отрицательным

Тогда х=17 - гипотенуза, 17-2=15 - один из катетов, 17-9=8 - второй катет.
Периметр Р=17+15+8= 40 см

Answer 2

Пусть один из катетов треугольника равен х см, а другой катет равен y см.

Задача говорит, что гипотенуза (обозначим ее z) больше одного из катетов на 2 см, а другого катета – на 9 см. Мы можем записать это в виде двух уравнений:

z = x + 2 (уравнение 1) z = y + 9 (уравнение 2)

Также, согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее уравнение:

z^2 = x^2 + y^2 (уравнение 3)

Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения x, y и z.

Из уравнения 1 мы можем выразить x через z:

x = z - 2

Подставим это значение в уравнение 3:

z^2 = (z - 2)^2 + y^2 z^2 = z^2 - 4z + 4 + y^2 0 = -4z + 4 + y^2

Теперь мы можем выразить y через z:

y^2 = 4z - 4 y = √(4z - 4)

Подставим это значение y в уравнение 2:

z = √(4z - 4) + 9

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной z. Решим его:

z - √(4z - 4) = 9 √(4z - 4) = z - 9 4z - 4 = (z - 9)^2 4z - 4 = z^2 - 18z + 81 0 = z^2 - 22z + 85

Решим это уравнение квадратным способом:

z = (22 ± √(22^2 - 4*1*85))/(2*1) z = (22 ± √(484 - 340))/2 z = (22 ± √144)/2 z = (22 ± 12)/2

Таким образом, получаем два возможных значения для z: 17 и 5.

Если z = 17, то подставляем это значение в уравнение 1 и находим x:

17 = x + 2 x = 17 - 2 x = 15

Также, подставляем значения x и z в уравнение 3 и находим y:

17^2 = 15^2 + y^2 289 = 225 + y^2 y^2 = 289 - 225 y = √64 y = 8

Теперь мы знаем значения x, y и z: x = 15, y = 8, z = 17.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

периметр = x + y + z периметр = 15 + 8 + 17 периметр = 40 см

Таким образом, периметр этого треугольника равен 40 см.