Question

Найдите наибольшее значение суммы Sn первых n членов арифметической прогрессии (а), если а1=90,а d=-6

Answer 1

$S_n= \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n \\ \\ S_n= \frac{2\cdot 90-6\cdot (n-1)}{2}\cdot n \\ \\ S_n= 90n-3(n-1)\cdot n \\ \\ S_n= 93n-3n^2 \\ \\ S`_n=93-6n^2$

$S`_n=0 \\ \\ n= \frac{93}{6}= \frac{31}{2} =15,5$

Так как  n∈ N, то 

S₁₅=(180-6·14)·15/2=1035 - наибольшая сумма

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения суммы Sn первых n членов арифметической прогрессии, мы должны знать формулу для суммы Sn.

Формула для суммы Sn арифметической прогрессии имеет вид: Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d),

где Sn - сумма первых n членов арифметической прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - количество членов прогрессии.

В данном случае a1 = 90 и d = -6.

Подставляя значения в формулу, получим: Sn = (n/2)(2*90 + (n-1)(-6)).

Для нахождения наибольшего значения суммы Sn мы должны найти такое значение n, при котором Sn будет максимальным.

Для этого возьмем производную от Sn по n и приравняем ее к нулю: d(Sn)/dn = (1/2)(2*90 + (n-1)(-6)) + (n/2)(-6) = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 180 - 6n - 6 + 3n = 0.

Упростим уравнение: -3n + 174 = 0, -3n = -174, n = 58.

Таким образом, при n = 58 сумма Sn будет максимальной.

Подставим это значение в формулу для Sn: Sn = (58/2)(2*90 + (58-1)(-6)) = 29(180 + 57*(-6)) = 29(180 - 342) = 29*(-162) = -4698.

Итак, наибольшее значение суммы Sn первых n членов арифметической прогрессии равно -4698.