Question

Lim x стремится к бесконечности 2x^3-3x^2+1/5x^3+4x^2+2x

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 x^{3}-3 x^{2} +1}{5 x^{3}+4 x^{2} +2x}$
Неопределённость ∞/∞ раскрываем делением на икс в наибольшей степени, т.е. на х³.

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 x^{3}-3 x^{2} +1}{5 x^{3}+4 x^{2} +2x}=\lim_{n \to \infty} \frac{2- \frac{3}{x}+ \frac{1}{ x^{3}}}{5+ \frac{4}{x}+ \frac{2}{x^{2}}}=$

$=\frac{2- \frac{3}{oo}+ \frac{1}{ oo^{3}}}{5+ \frac{4}{oo}+ \frac{2}{oo^{2}}}= \frac{2-0+0}{5+0+0} = \frac{2}{5}$

Answer 2

Для начала, давайте выразим функцию в виде дроби и проанализируем её предел при \( x \) стремящемся к бесконечности:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x^3 - 3x^2 + 1}{5x^3 + 4x^2 + 2x} \]

Анализ предела

Чтобы решить этот предел, мы можем применить правило Лопиталя, которое позволяет нам вычислить пределы неопределенностей типа \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\). Правило Лопиталя гласит, что если предел \(\lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)}\) имеет вид \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то предел \(\lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)}\) равен пределу \(\lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)}\), где \(f'(x)\) и \(g'(x)\) - производные функций \(f(x)\) и \(g(x)\) соответственно.

Применение правила Лопиталя

Произведем дифференцирование числителя и знаменателя:

\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \), \( g(x) = 5x^3 + 4x^2 + 2x \)

\( f'(x) = 6x^2 - 6x \), \( g'(x) = 15x^2 + 8x + 2 \)

Подставим производные в правило Лопиталя:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x^3 - 3x^2 + 1}{5x^3 + 4x^2 + 2x} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{6x^2 - 6x}{15x^2 + 8x + 2} \]

Упрощение

Далее, мы можем упростить дробь, разделив все члены на \( x^2 \) и применив правило о пределе бесконечно большой функции:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{6x^2 - 6x}{15x^2 + 8x + 2} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{6 - \frac{6}{x}}{15 + \frac{8}{x} + \frac{2}{x^2}} \]

Определение предела

Теперь, когда \( x \) стремится к бесконечности, все члены, содержащие \( \frac{1}{x} \) или \( \frac{1}{x^2} \), стремятся к нулю, поэтому предел можно определить простым подстановкой:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{6 - \frac{6}{x}}{15 + \frac{8}{x} + \frac{2}{x^2}} = \frac{6 - 0}{15 + 0 + 0} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \]

Ответ

Таким образом, предел функции \( \frac{2x^3 - 3x^2 + 1}{5x^3 + 4x^2 + 2x} \) при \( x \) стремящемся к бесконечности равен \( \frac{2}{5} \).