Question

А1. Отрезки АД и ВС пересекаются в точке К так, что АК = 12см, КД = 3см, ВК = 20см, КС = 5см, < КДС = 60, < ДКС = 50. Найдите величину < АВК.

Answer 1

ΔKDC:   ∠KCD=180°-∠KDC-∠CKD=180°- 60° - 50° = 70°
ΔABK и ΔKDC
∠AKB = ∠DKC - вертикальные углы
$\frac{AK}{KD} = \frac{12}{3} =4= \frac{BK}{KC} = \frac{20}{5} =4$  ⇒
ΔABK ~ ΔKDC по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними  ⇒ ∠ABK = ∠KCD = 70°

Ответ: ∠ABK = 70°

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти величину угла АВК. Давайте разберемся подробнее.

Из условия задачи, мы знаем, что отрезки АК и ВК пересекаются в точке К, и что АК = 12 см, ВК = 20 см. Также даны длины отрезков КД и КС, которые равны 3 см и 5 см соответственно.

Чтобы найти величину угла АВК, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника АВК. Теорема косинусов гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C),

где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины двух других сторон, а C - величина угла, противолежащего стороне с длиной c.

В нашем случае, мы ищем величину угла АВК, поэтому a = АК = 12 см, b = ВК = 20 см, а c - длина стороны, противолежащей углу АВК. Нам нужно найти эту длину.

Чтобы найти длину стороны с, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника КДС. Мы знаем, что КД = 3 см, КС = 5 см, и величины углов КДС и ДКС, которые равны 60 и 50 градусов соответственно.

Применяя теорему косинусов к треугольнику КДС, мы можем найти длину стороны с:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C).

В нашем случае, a = КД = 3 см, b = КС = 5 см, C = 60 градусов. Подставим эти значения в формулу и рассчитаем c:

c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 * 3 * 5 * cos(60).

c^2 = 9 + 25 - 30 * cos(60).

c^2 = 34 - 30 * 0.5.

c^2 = 34 - 15.

c^2 = 19.

c ≈ 4.36 см.

Теперь, когда мы знаем длину стороны c, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника АВК:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C).

В нашем случае, a = АК = 12 см, b = ВК = 20 см, C - это величина угла АВК, которую мы хотим найти. Подставим известные значения и найдем C:

4.36^2 = 12^2 + 20^2 - 2 * 12 * 20 * cos(C).

19 - 144 - 400 + 480 * cos(C) = 0.

-525 + 480 * cos(C) = 0.

480 * cos(C) = 525.

cos(C) = 525 / 480.

cos(C) ≈ 1.094.

Теперь мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы найти величину угла C:

C ≈ cos^(-1)(1.094).

C ≈ 42.849 градусов.

Таким образом, величина угла АВК примерно равна 42.849 градусов.