Question

Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что угол BAC-прямой.

Answer 1

Представим, что точка М - центр окружности, а следовательно отрезки BM, MC и AM равны между собой по условию и равны радиусу данной окружности:
BM=AM=MC=R
получается, что искомый угол BAC опирается на диаметр данной окружности, а мы знаем по теореме, что угол опирающийся на диаметр окружности = 90 градусов
Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства утверждения, что угол BAC является прямым, нам необходимо использовать информацию о медиане и средней линии треугольника.

Пусть M - точка пересечения медианы треугольника ABC, проведенной из вершины A, и отрезка BM. Также пусть N - точка пересечения средней линии, проведенной из вершины A, и отрезка BC.

Так как медиана треугольника делит среднюю линию в отношении 2:1, то можно сказать, что BM = 2MN.

Предположим, что угол BAC не является прямым. Тогда, по теореме Пифагора, сумма квадратов длин сторон треугольника ABC будет больше, чем квадрат длины гипотенузы:

AB^2 + AC^2 > BC^2.

Так как BC = 2MN (так как N - середина BC), то BC^2 = 4MN^2.

Также, по теореме Пифагора, в треугольнике ABM справедливо равенство:

AB^2 + BM^2 = AM^2.

С учетом того, что BM = 2MN, это равенство можно записать в виде:

AB^2 + 4MN^2 = AM^2.

Из неравенства AB^2 + AC^2 > BC^2 следует, что AB^2 > BC^2 - AC^2 = 4MN^2 (так как BC^2 = 4MN^2).

Таким образом, получаем:

AB^2 + 4MN^2 > 4MN^2 + AM^2.

AB^2 > AM^2.

Это означает, что сторона AB больше стороны AM, что противоречит тому факту, что медиана делит сторону BC на две равные части.

Таким образом, наше предположение неверно, и угол BAC является прямым.