Question

Найти интервалы убывания функции у=(1/3)х^3+(1/2)x^2

Answer 1

Сначала надо найти точки экстремумов. В них первая производная равна нулю. То есть надо решить уравнение y'=0;
y'=x^2+x;
x^2+x=0;
x*(1+x)=0;
x1=0;
x2=-1;
это точки экстремумов, теперь надо выяснить какая из них локальный максимум, а какая - локальный минимум. В точке максимума вторая производная меньше нуля, в точке минимума - больше нуля.
y''=2x+1;
y''(0)=1; (значит это минимум)
y''(-1)=-1;(значит это максимум);
Получается, что на интервале (-бесконечность;-1) функция возрастает. На интервале (-1;0) она убывает. На интервале (0;+бесконечность) снова возрастает.

Answer 2

Для нахождения интервалов убывания функции у=(1/3)х^3+(1/2)x^2 сначала найдем производную этой функции.

Производная функции у=(1/3)х^3+(1/2)x^2: у' = (d/dx)(1/3)х^3 + (d/dx)(1/2)x^2 = (1/3)(d/dx)(х^3) + (1/2)(d/dx)(x^2) = (1/3)(3х^2) + (1/2)(2x) = х^2 + x

Для определения интервалов убывания производной у' необходимо найти корни этой производной, т.е. значения х, при которых у' = 0.

х^2 + x = 0

Решим это уравнение: х(х + 1) = 0

Таким образом, корни уравнения х^2 + x = 0 равны х = 0 и х = -1.

Теперь построим таблицу знаков производной у':

х | -∞ | -1 | 0 | +∞ ----------------------------------------- у' | + | 0 | + | +

Из таблицы видно, что производная у' положительна на интервалах (-∞, -1) и (0, +∞), и равна нулю при х = -1.

Таким образом, функция у=(1/3)х^3+(1/2)x^2 убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, +∞), а возрастает на интервале (-1, 0).